Đề thi các trường và các tỉnh 2012-2013 Lời giải và bình luận

[namdung]

Cảm ơn mọi người đã đóng góp rất nhiệt tình cho chủ đề, đặc biệt là các bạn nguyentatthu, traubo, kien10a1.

Gửi tiếp các bạn các bài toán thuộc chủ đề Dãy số và Giới hạn dãy số.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kainguyen]

Em xin đóng góp ý kiến cho phần Dãy số và giới hạn:

Bài 1:

Ta có: $x_1=2;x_2=3 $ và $\x_{n+1}=\frac{n+1}{2n}x_n+\frac{n-2}{3n}x_{n-1}+\frac{1}{6} $ với mọi $n \ge 2 $ nên $x_n >0 $ hay dãy $(x_n) $ bị chặn dưới.

Ta có:

$x_{n+1}=\frac{n+1}{2n}x_n+\frac{n-2}{3n}x_{n-1}+\frac{1}{6}\leq \frac{2}{3}x_n+\frac{1}{3}x_{n-1}\leq y_n $

$\Rightarrow y_n=max\left \{ x_{n-1};x_n \right \}\geq max\left \{ x_{n-1};x_n;x_{n+1} \right \}\geq max\left \{ x_n;x_{n+1} \right \}=y_{n+1}\Rightarrow y_n\geq y_{n+1} $

Do $x_n $ bị chặn dưới nên $y_n $ bị chặn dưới suy ra $y_n $ hội tụ và có giới hạn.

Đặt: $limy_n=a $. Suy ra $\exists \epsilon >0, N_0 \in \mathbb{N} $ sao cho $\forall n>N_0, a - \epsilon < y_n < a + \epsilon \Rightarrow y_n < a + \epsilon, \forall n>N_0 $

Với $n $ bất kì $(n>N_0+1) $, ta xét 2 trường hợp:

TH1:$ y_n=x_n $ thì $a - \epsilon < x_n < a + \epsilon $. Suy ra $x_n $ có giới hạn.

TH2: $y_n=x_{n+1} $ thì

$x_{n+1}\leq \frac{2}{3}x_n+\frac{1}{3}x_{n-1} $

$\Leftrightarrow x_n\geq \frac{3}{2}x_{n+1}-\frac{1}{2}x_{n-1}> \frac{3}{2}(a-\epsilon )-\frac{1}{2}(a+\epsilon )=a-2\epsilon $

$\Rightarrow a-2\epsilon< x_n< a+2\epsilon $

Suy ra dãy $x_n $ có giới hạn.

Vậy trong cả 2 trường hợp $x_n $ đều có giới hạn.

Thay vào CT ban đầu, ta có:

$a=\frac{n+1}{2n}a+\frac{n-2}{3n}a+\frac{1}{6} $

$\Leftrightarrow a=\frac{n}{n-1}\Rightarrow limx_n=lim\frac{n}{n-1}=1 $

Vậy dãy $x_n $ có giới hạn là $limx_n=1 $.

Bài 2:

1) Tìm CTTQ:

Đặt: $u_0=\frac{4}{3};u_n=\frac{u_{n-1}}{x_{n+1}} \forall n\geq 1 $

Suy ra $x_n.x_{n+1}+3x_{n+1}=4 $ trở thành

$u_n=\frac{3}{4}u_{n-1}+\frac{1}{4}u_{n-2} $

Sử dụng pt đặc trưng tìm được CTTQ của $u_n $ suy ra CTTQ $x_n $.

2) Tìm giới hạn:

$x_n \ne 0 $ nên $x_n.x_{n+1}+3x_{n+1}=4 $

$\Leftrightarrow x_{n+1}=\frac{4}{x_n+3} \Rightarrow 0<x_n <\frac{4}{3} $

Xét $f(x)=\frac{4}{x+3}\Rightarrow f'(x)=\frac{-4}{(x+3)^2}<0 $với $x>0 $.

Đây là hàm nghịch biến với $x>0 $.

Ta có: $x_2=\frac{12}{13}>x_1=0\Rightarrow f(x_3)<f(x_1)\Rightarrow x_4<x_2\Rightarrow ... $

Do đó ta chứng minh được:

$x_1<x_3<...<\frac{4}{3} $ suy ra $x_{2k+1} $ có giới hạn. Đặt $limx_{2k+1}=a $.

$x_2>x_3>...>0 $ suy ra $x_{2k+2} $ có giới hạn. Đặt $limx_{2k+2}=b $
với $k \ge 1 $, $k $ nguyên.

Ta có: $\left\{\begin{matrix}
ab+3a=4\\
ab+3b=4
\end{matrix}\right. $

$\Rightarrow a=b \Rightarrow a^2+3a-4=0\Leftrightarrow a=1 $
Vậy dãy $x_n $ có $limx_n= 1 $.

Bài 3:

Xét hàm số $f(x)=\frac{x+2}{-2x+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{5}{(-2x+1)^2}>0 $ với $x \ne \frac{1}{2} $

Mà $x_1=2 > \frac{1}{2} $

Từ đây suy ra dãy đã cho là dãy tăng nên $x_n \ne 0 $ và không phải là dãy tuần hoàn.

Các bài còn lại đều đã có trên diễn đàn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Nguyên văn bởi kainguyen

Em xin đóng góp ý kiến cho phần Dãy số và giới hạn:

Bài 3:

Xét hàm số $f(x)=\frac{x+2}{-2x+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{5}{(-2x+1)^2}>0 $ với $x \ne \frac{1}{2} $

Mà $x_1=2 > \frac{1}{2} $

Từ đây suy ra dãy đã cho là dãy tăng nên $x_n \ne 0 $ và không phải là dãy tuần hoàn.

Các bài còn lại đều đã có trên diễn đàn.

Bạn có thể tính vài số hạng đầu tiên của dãy để thấy thực sự đây không phải là dãy tăng.

Vấn đề của bạn là không để ý đến điểm gián đoạn của hàm f(x).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kainguyen]

Nguyên văn bởi namdung

Bạn có thể tính vài số hạng đầu tiên của dãy để thấy thực sự đây không phải là dãy tăng.

Vấn đề của bạn là không để ý đến điểm gián đoạn của hàm f(x).

Vâng đúng là sai ạ, em xin giải lại như sau

Đặt: $tana=2 $. Ta cm theo quy nạp được: $u_n=tanna $.

1. Ta có: $u_{2m}=tan2ma=\frac{2tanma}{1-tan^2ma}=\frac{2u_m}{1-u_m^2} $ (1)

Giả thiết phản chứng tồn tại n sao cho $u_n=0 $. Xét:

TH1: $n $ chẵn, $n=2m $ suy ra $u_m=0 $

TH2: $n $ lẻ, biểu diễn $n=2^k(2s+1) $

Sử dụng $u_n $ và (1) $k $ lần được $u_{2s+1}=0 $

Nếu $m $ chẵn, thực hiện tiếp đến khi $m $ lẻ.

Sau đó chứng minh được $u_s $ là số vô tỉ mà đề bài cho $u_n $ là số hữu tỉ suy ra vô lý (đpcm).

2. Gỉả sử tồn tại 2 số hạng của dãy cùng nhận 1 giá trị.

Ta có: $u_{m+n}=u_n $

$\Leftrightarrow tan(m+n)a=tanna $

$\Leftrightarrow \frac{sinma}{cos(m+n)acosa}=0 $

$\Leftrightarrow sina=0\Rightarrow tanma=0 $

$\Rightarrow u_m=0 $

Suy ra vô lý. Vậy ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ispectorgadget]

Một số bài BĐT mình gom được
(Đề thi HSG Quảng Ninh ) Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn : $abc = 2\sqrt{2}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P = \dfrac{a^6+b^6}{a^4+b^4+a^2b^2}+ \dfrac{b^6+c^6}{b^4+c^4+b^2c^2}+ \dfrac{c^6+a^6}{c^4+a^4+c^2a^2}$$

(Đề chọn HSG quốc gia tỉnh Bình Thuận)
Tìm tất cả các giá trị của $x\in [0,2\pi ]$ sao cho:
$$2cosx\leq |\sqrt{1+sin2x}-\sqrt{1-sin2x}|\leq \sqrt{2}$$

(Đề chọn đội tuyển HSG quốc gia Hải Phòng )
Cho $a,b,c,d$ thực thỏa mãn $a+b+c+d=2.$ Chứng minh rằng
$$\frac{a}{a^2-a+1}+\frac{b}{b^2-b+1}+\frac{c}{c^2-c+1}+\frac{d}{d^2-d+1}\le\frac{8}{3}.$$

(đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du Đák lak) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}-bc}{\sqrt{8a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}} \geq 0 $

Một số bài đã có lời giải trên diễn đàn các bạn có thể đưa ra lời giải khác hoặc bình luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Em xin gửi file tổng hợp các bài PT - HPT. Còn một số đề bên VMF em sẽ bổ sung và thêm nhận xét vào sau ạ.
Trước mắt là xong bên MathScope
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

Nguyên văn bởi TrauBo

Em xin gửi file tổng hợp các bài PT - HPT. Còn một số đề bên VMF em sẽ bổ sung và thêm nhận xét vào sau ạ.
Trước mắt là xong bên MathScope

Câu đề Phú Yên của mình là x và y đều dương hết nhé, vậy trường hợp có 2 nghiệm trái dấu TrauBo loại đi nhé, giải đúng roài đó, câu bất phương trình mình không giải cũng không tự tin lắm nên chưa post
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DaiToan]

Xin đóng góp vài bài trong phân PTH-Đa thức. Các bài còn lại đa được giải trên diễn đàn...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Cảm ơi thầy Đại chuyên Vĩnh Phúc cũng đã góp sức.

Tiếp tục gửi mọi người các đề toán về Số học.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi namdung

Tiếp tục gửi mọi người các đề toán về Số học.

Tổng hợp một số bài toán Số học.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Tiếp tục với phần Hình học.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quangbynh]

Nguyên văn bởi thaygiaocht

Tiếp tục với phần Hình học.

Bổ sung HH từ bài 15 đến 25
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Cảm ơn thầy Ban cũng đã góp sức.

Tôi tiếp tục gửi cập nhật mới nhất các bài về Bất đẳng thức.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathmath123]

Thầy Nam Dũng cho em hỏi những bất đẳng thức nào được sử dụng trong thi hsg,có được sử dụng Holder và Chê-bư-sép không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Các bất đẳng thức Chebysev, Holder cùng với Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, AM-GM, Bec-nu-li là các bất đẳng thức được sử dụng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]