Đề thi chọn đội tuyển PTNK 2013

[antuc220375]

Lời giải bị lỗi vì phép thế x bởi y + f(y) không hợp lệ do y + f(y)chưa chắc
nhận mọi giá trị trên R.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[antuc220375]

Xin bạn viết rõ hơn làmthế nào chứng minh được f đơn ánh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[antuc220375]

Từ PTH suy ra f nhận mọi giá trị trên R ( nghĩa là f tòan ánh) nhưng chưa hẳn y + f(y) nhận mọi giá trị trên R. Do đó phép thế x bởi y + f(y) là không đúng. Cần phải cm là với mọi x luôn biểu diễn được dưới dạng x = y + f(y).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptnkmt11]

Nguyên văn bởi vulalach

Đây là đề thi ngày thứ nhất.

Khi nào có đề ngày 2 bạn vulalach đăng liền nha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[antuc220375]

Xin hỏi là từ f(x-y+f(-y))=0 làm sao có x -y+f(-y)=0 ?Cần chứng minh thêm f(x)= 0 khi và chỉ khi x = 0 thì phép suy luận như thế mới đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[blackholes.]

Bài 5:
Cho 2014 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{2014}$ thỏa mãn điều kiện $\sum_{i=1}^{2014}x_{i}= 0$ ,$\sum_{i=1}^{2014}x_{i}^{2}= 2014$.Tim giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x_{1}x_{2}...x_{2014}$
Bài 6:
Cho dãy số $u_{n}$ xác định bởi $u_{1}= 1,u_{n+1}= \frac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}+\sqrt{2}}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Tìm $\lim \frac{u_{n+1}}{u_{n}}$
Bài 7:
Cho n là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của $X=\left \{ 1,2,...,n \right \}$
a.Tính giá trị của tổng $S\left ( A \right )= \sum_{E\subset X}^{} .\left ( -1 \right )^{\left | E\bigcap A \right |}$,trong đó E lấy trên tất cả các tập con của tập X (kể cả tập rỗng).
b.Cho $m\in \mathbb{N}^{*}$,xét m tập con khác rỗng của X là $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ và m số nguyên khác không là $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ sao cho $a_{1}+a_{2}+...+a_{m}< 0$.Chứng minh rằng tồn tại tập con E của X sao cho $\sum_{i=1}^{m}\left ( -1 \right )^{\left | E\cap A \right |}a_{i}> 0$ (Kí hiệu $\left | A \right |$ chỉ số phần tử của tập A,số phần tử của tập rỗng là 0).
Bài 8.Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $P$ là điểm di động bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{BPC}= \widehat{BHC}$.Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AB$ cắt$PC$ tại $M$.Đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại N.Chứng minh rằng trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định .


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

@tikita:câu b) là chứng minh $\sum_{i=1}^{m}(-1)^{|E\bigcap A_i|}a_i>0$
chứng minh bằng đếm bằng 2 cách.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi TNP

@tikita:câu b) là chứng minh $\sum_{i=1}^{m}(-1)^{|E\bigcap A_i|}a_i>0$
chứng minh bằng đếm bằng 2 cách.

bạn TNP viết lời giải đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi TNP

@tikita:câu b) là chứng minh $\sum_{i=1}^{m}(-1)^{|E\bigcap A_i|}a_i>0$
chứng minh bằng đếm bằng 2 cách.

Mình không nghĩ là đếm bằng hai cách được. Mình làm bài này bằng phản chứng như sau:

Đặt $f(E)=\sum_{i=1}^{m}(-1)^{|E\bigcap A_i|}a_i$. Giả sử $f(E)\leq 0,\forall E$. Mà
$$\sum_{E\subset X}f(E)=\sum_{i=1}^ma_iS(A_i)=0$$
Suy ra $f(E)=0,\forall E$, nhưng điều này là không thể vì $f(\emptyset)<0$. Vậy luôn tồn tại $E$ sao cho $f(E)>0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luxubuhl]

Bài dãy dễ quá Chỉ ra giảm và chặn dưới là xong

Bài GTLN làm thế nào nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[blackholes.]

Lời giải bài bất đẳng thức của anh Cẩn:

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG PTNK - ĐHQGTPHCM
NĂM HỌC 2013-2014
Ngày thi thứ hai: 26/9/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 5. Cho $2014$ số thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa mãn điều kiện $\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i=0$ và $\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i^2=2014$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x_1x_2...x_{2014}$.

Bài 6. Cho dãy số $\{u_n \}$ xác định bởi: $u_1=1$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}+\sqrt{2}}, \ \forall n\in\mathbb{N^*}$.
Tìm $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Bài 7. Cho $n$ là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của $X=\{1,2,...,n\}$.
Tính giá trị của tổng $S(A)=\sum\limits_{E\subset X}(-1)^{|E\cup A|}$, trong đó $E$ lấy trên tất cả các tập con của $X$ (kể cả tập rỗng).
Cho $m\in\mathbb{N^*}$, xét $m$ tập con khác rỗng của $X$ là $A_1,A_2,...,A_m$ và m số nguyên khác $0$ là $a_1,a_2,...,a_m$ sao cho $a_1+a_2+\cdots+a_m<0$. Chứng minh rằng tồn tại tập con $E$ của $X$ sao cho $\sum\limits_{E\subset X}(-1)^{|E\cup A|}a_i>0$.
(Ký hiệu $|A|$ chỉ số phần tử của tập hợp $A$, số phần tử của tập rỗng là 0).

Bài 8. Tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và $P$ là điểm di động bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle BHC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M$, đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N$. Chứng minh trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thằng cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi Newmath

[CENTER]
Bài 6. Cho dãy số $\{u_n \}$ xác định bởi: $u_1=1$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}+\sqrt{2}}, \ \forall n\in\mathbb{N^*}$.
Tìm $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Bài 6: Chứng minh được $u_n>0$ và $u_n$ là dãy giảm nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Chuyển về giới hạn ta giải được $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=0$
Đặt $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_n} (v_n >0 \forall n=1,2,3...)$, ta có:
$v_{n+1}=v_{n}(\dfrac{\sqrt{u_{n-1}^2+1}}{\sqrt{u_n^2+1}})$
Từ đây ta suy ra $v_n$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{2}-1$ nên ta suy ra $v_{n}$ tồn tại giới hạn hữu hạn. Từ công thức truy hồi, ta có:
$v_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1}}$
Chuyển về giới hạn ta suy ra $\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=\sqrt{2}-1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Thì đó cũng là 1 dạng đếm bằng 2 cách đó , đa số các bạn cũng làm theo cách này.
Các bạn thử làm bài hình học xem, bài này có nhiều cách giải thú vị lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mysm~r997]

Nguyên văn bởi TNP

Thì đó cũng là 1 dạng đếm bằng 2 cách đó , đa số các bạn cũng làm theo cách này.
Các bạn thử làm bài hình học xem, bài này có nhiều cách giải thú vị lắm

Bài hình học ~ sử dụng tọa độ phức là một cách tương đối không cần suy nghĩ nhiều :')

Bài 8. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H và P là điểm di động bên trong tam giác ABC sao cho $∠BPC=∠BHC$. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thằng cố định.
_________
- Dễ thấy với tính chất của trực tâm: $∠BPC+∠BAC=180^o$
Lấy $U$ sao cho $ABUC$ là hình bình hành: $∠BAC=∠BUC$
$\Rightarrow HBUC$ nội tiếp
- Với $∠BPC=∠BHC$, P di chuyển trên cung $BHC$ của $(HBUC)$
- Theo thói quen, chọn hệ tọa độ phức sao cho $(HBUC)$ là đường tròn đơn vị, $z$ là tọa vị của điểm $Z$ bất kì trong hệ:
- $P$ di chuyển trên đường tròn đơn vị: $|p|=|h|=|b|=|c|=|u|=1$ Hay $p \bar{p} =b \bar{b} =c \bar{c} =u \bar{u}=1$
- Do $u$ cố định, không mất tính tổng quát, cố định $u=1$
Các công thức quen thuộc:
- $M$ thuộc $PC$: $m+ \bar{m} pc=p+c$
- $BM\perp CU$ ( Do $BM\perp AB$ ): $m-\bar{m} cu=b-cu\bar{b}$ Hay $m-\bar{m} c=b-c\bar{b}$
Trừ hai phương trình: $\bar{m}c(p+1)=p+c-b+c\bar{b}\\\Leftrightarrow \bar{m}(p+1)=p\bar{c}+1-b\bar{c}+\bar{b}$
Đổi vai trò của $b$ và $c$, ta được $n$, theo đó:
$(\bar{m}+\bar{n})(p+1)=(p+1)(\bar{c}+\bar{b})+2-b\bar{c}-\bar{b} c$
$\Leftrightarrow I=(m+n)/2=(b+c)/2+\frac{1-\Re(b\bar{c})}{\bar{p}+1}=f_{p\in |z|=1}(\bar{p})=f_{\bar{p}\in |z|=1}(\bar{p})$
Dễ thấy hàm $f$ biến đường tròn đơn vị thành đường thẳng; và $b,c$ cố định, đường thẳng đó cố định (qed)
Hay một cách chính xác hơn, $I$ chạy trên trục ảo dời theo trục thực một đơn vị: $(\Re(b+c-b\bar{c})+1)/2$

Nhận xét: I vẫn chạy trên đường thẳng đó khi $P$ chạy trên phần còn lại của đường tròn (BHC)
...Mấy bạn ở bên đó làm bài thế nào vậy bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]