Topic hình học phẳng I

[anhkhoa_nt]

Bài 8: Cho tam giác ABC. Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ID, EF và trung tuyến AM đồng quy tại 1 điểm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Nguyên văn bởi anhkhoa_nt

Bài 8: Cho tam giác ABC. Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ID, EF và trung tuyến AM đồng quy tại 1 điểm.

.ID cắt EF tại K
Lúc đó: $\vec{AN}=\frac{KE}{EF}.\frac{AF}{AB}.\vec{AB}+ \frac{KF}{EF}.\frac{AE}{AC}.\vec{AC}=k(\vec{AB}+ \vec{AC})=2k.\vec{AM} $
=>....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trung65]

Nguyên văn bởi anhkhoa_nt

Bài 8: Cho tam giác ABC. Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ID, EF và trung tuyến AM đồng quy tại 1 điểm.

Gọi P,Q lần lượt là giao điểm AM và EF, AM và ID. Kẻ AK vuông góc BC . Dễ dàng tính được $\frac{QA}{QM}=\frac{DM}{DK}= \frac{b+c-a}{a} $
BI cắt EF ở T. chứng minh dc tam giác BTC vuông ở T và MT song song AB nên $\frac{PA}{PM}= \frac{AF}{MT}= \frac{b+c-a}{a} $
Từ đó suy ra P trùng Q
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Đây là bài toán trong đề luyện VMO 2011 số 2: [Only registered and activated users can see links. ]
Trong file bên dưới cũng có bài toán này
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhkhac_94]

Bài 9: Hai đoạn thẳng $AB $ và $A'B' $ bằng nhau. Phép quay với tâm quay M biến$ A->A' $,$B->B' $. Phép quay với tâm quay N biến $A->B' $, $B->A' $. Gọi S là trung điểm của AB. Chứng minh rằng SM vuông góc với SN
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi minhkhac_94

Bài 9: Hai đoạn thẳng $AB $ và $A`B` $ bằng nhau. Phép quay với tâm quay M biến$ A->A` $,$B->B` $. Phép quay với tâm quay N biến $A->B` $, $B-->A` $. Gọi S là trung điểm của AB. Chứng minh rằng SM vuông góc với SN

Gọi $S' $ là trung điểm $A'B' $; $f $ là phép quay tâm $M $ biến $A\to A',B\to B' $; $f' $ là phép quay tâm $N $ biến $A\to B',B\to A' $
Ta có $f(S)=S',f'(S)=S' $
$\Rightarrow (SB,SN)\equiv (S'A',S'N) \pmod{\pi}, (SM,SA)\equiv (S'M,S'A') \pmod{\pi} $
$\Rightarrow \pi - (SN,SM) \equiv (S'M,S'N) \pmod{\pi} $
$\Rightarrow (SM,SN) \equiv (S'M,S'N) \pmod{\pi} $
$\Rightarrow S,S',M,N $ đồng viên
Lại có $MS=MS',NS=NS' $
$\Rightarrow \widehat{MSN}=\widehat{MS'N}=90^\circ $ (đpcm)
---------------------------
p/s: nêu cách dựng $M,N $ bằng 2 cách khác nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lan Phuog]

Bài 11: Cho đường tròn $(O) $ và 1 đường thẳng $d $ cố định. Gọi $H $ là hình chiếu của $O $ trên $d $, lấy $M $ cố định thuộc đường tròn. $A,B $ thay đổi trên $d $ sao cho $H $ là trung điểm của $AB $. Giả sử $AM,BM $ cắt $(O) $ lần lượt tại $P $ và $Q $. cmr $PQ $ đi qua 1 điểm cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhkhac_94]

Bài 12:Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc vs BC, AB, AC tại D, E, F. Qua E vẽ đường song song vs BC cắt AD, DF ở M, N. CMR: M là trung điểm của EN.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Nguyên văn bởi minhkhac_94

Bài 12:Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc vs BC, AB, AC tại D, E, F. Qua E vẽ đường song song vs BC cắt AD, DF ở M, N. CMR: M là trung điểm của EN.

Qua A vẽ (d)//BC cắt DF tại P.
ta có MN//AP

$\Rightarrow \frac{{MN}}{{AP}} = \frac{{DM}}{{AD}} $(1)

Vì MN//BC

$\Rightarrow \frac{{EM}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{AD}} $(2)

tỪ (1) và (2)

$\Rightarrow \frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{MN}}{{AP}} $

Dễ thấy $AP=AE=AF $
$\Rightarrow EM=MN $

VẬY M là trung Điểm của EN
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TheKiet]

Nguyên văn bởi Lan Phuog

Bài 11: Cho đường tròn $(O) $ và 1 đường thẳng $d $ cố định. Gọi $H $ là hình chiếu của $O $ trên $d $, lấy $M $ cố định thuộc đường tròn. $A,B $ thay đổi trên $d $ sao cho $H $ là trung điểm của $AB $. Giả sử $AM,BM $ cắt $(O) $ lần lượt tại $P $ và $Q $. cmr $PQ $ đi qua 1 điểm cố định.

Không mất tính tổng quát, giả sử M và B cùng phía so với OH.
Từ P kẻ đường thẳng d' song song với d cắt MH, MB tương ứng tại S, T.
Gọi N là trung điểm của PQ. $R \equiv (O) \cap MH $

Ta có:
$NS \parallel QT \Rightarrow (NP,NS) = (QP,QT) = (RP,RS) (mod \pi) $
Suy ra P,N,R,S đồng viên.
Do đó
$(RN,RH)= (PN,PS) = (KN,KH)(mod \pi) $
Nếu M, O, H thẳng hàng, khi đó ta có PQ luôn song song với (d). Do đó ta chỉ xét trường hợp M, O, H không thẳng hàng.

Giả sử (d) không cắt (O) (các trường hợp khác cm tương tự).Suy ra N,R,H,K đồng viên (1)

Mà $\measuredangle{ONK}=\measuredangle{OHK}= \frac{\pi}{2} $
Nên O,N,H,K đồng viên (2)

Từ (1) và (2) suy ra K là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (OHR) cố định. Nên điểm K cố định.

Vậy PQ luôn đi qua điểm K cố định.

_________
*********
Các trường hợp khác của đường thẳng (d), ta cm tương tự, vẫn thu được kết quả như trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Evarist Galois]

Bài 10:
Tam giác ABC , đường cao AH cắt (O) tại A'. OA' cắt BC tại A''. Xác định tương tự cho B'',C''. Chứng minh AA'',BB'',CC'' đồng quy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi Evarist Galois

Bài 10:
Tam giác ABC , đường cao AH cắt (O) tại A'. OA' cắt BC tại A''. Xác định tương tự cho B'',C''. Chứng minh AA'',BB'',CC'' đồng quy

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[boyqn]

Bài 4 chưa có bạn nào giải thì xem lời giải tại đây( bài cuối cùng nha):[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

Bài 13:Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và cùng nằm bên trong đường trong (O), với C là điểm chính giữa hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn (O). Tia MA cắt đường tròn (O) tại N. Tia NB cắt đường tròn (O) tại P. Tia PC cắt đường tròn (O) tại Q. Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMQ. Chứng minh khi M di động trên đường tròn (O) thì J di động trên một đường thẳng cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]