Đề thi tuyển sinh lớp 10 SPHN 2010

kaka_math · 18-06-2010, 02:08 PM

Vòng 2

Câu 1:
1) Giả sử $a $ và $b $ là 2 số dương khác nhau và thỏa mãn $a - b = \sqrt{1 - b^2 } - \sqrt{1 - a^2 } $. Cmr: $a^2 + b^2 = 1 $.
2) Cmr: $\sqrt{2009^2 + 2009^2.2010^2+2010^2} $ là một số nguyên dương.

Câu 2: Giả sử bốn số thực $a, b, c, d $ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) PT $x^2 - 2cx - 5d = 0 $ có 2 nghiệm $a, b $.
ii) PT $x^2 - 2ax - 5b = 0 $ có 2 nghiệm $c, d $.
Cmr:
1. $a - c = c - b = d - a $.
2. $a + b + c + d = 30 $.

Câu 3: Giả sử $m $ và $n $ là những số nguyên dương với $n > 1 $. Đặt $S = m^2 n^2 - 4m + 4n $. Cmr:
1) Nếu $m > n $ thì $(mn^2 - 2)^2 < n^2 S < m^2 n^4 $.
2) Nếu $S $ là số chính phương thì $m = n $.

Câu 4: Cho tam giác $ABC $ với $AB > AC, AB > BC $. Trên cạnh $AB $ của tam giác $ABC $ lấy các điểm $M $ và $N $ sao cho $BC = BM $ và $AC = AN. $.
1) Cmr: điểm $N $ nằm trong đoạn thẳng $BM $.
2) Qua M và $N $ kẻ $MP // BC $ và $NQ // CA $. Cmr: $CP = CQ $.
3) Cho $\widehat{ACB} = 90^o, \widehat{CAB} = 30^o $ và $AB = a $. Tính $S_{MCN} $ theo $a $.

Câu 5: Trên một bảng đen ta viết 3 số $\sqrt{2}, 2, \frac{1}{\sqrt{2}} $. Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xóa 2 số nào đó trong 3 số trên bảng, giả sử là a và b, rồi viết vào 2 vị trí vừa xóa 2 số mới là $\frac{a + b}{\sqrt{2}} $ và $\frac{|a - b|}{\sqrt{2}} $, đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có 3 số. Cmr: dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không thể có đồng thời 3 số $\frac{1}{2\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2} $.

cun · 18-06-2010, 06:12 PM

Đã là 2 số nguyên dương khác nhau sao tổng bình phương của chúng bằng 1. Vô lý. Có thể là 2 số dương khác nhau, phải không?

99 · 19-06-2010, 12:40 AM

Bạn ý nhầm đấy, 99 sửa lại rồi. 99 có tham gia chấm bài, thấy có một điều hóm hỉnh là : nhiều thí sinh làm được câu 5 rất tốt, nhưng giải một số câu khác thì như người không biết học Toán.

Bạn nào giải thích được hiện tượng nài

pthao12o8 · 19-06-2010, 07:31 AM

anh 99 ơii.anh cho e lời giải phần 2 của câu 2 vs câu 3.thanks anh nhiều nhé

99 · 19-06-2010, 02:55 PM

Chaiz, xin lỗi bạn về việc này, thứ nhất là mình quên lời giải nó cụ thể thế nào rồi, thứ hai là ngồi gõ ra cũng vất vả

Evarist Galois · 19-06-2010, 03:41 PM

anh 99 ơi, anh có bit điểm chuẩn vào chuyên toán ko ak?

Evarist Galois · 19-06-2010, 03:41 PM

anh 99 ơi, anh có bit điểm chuẩn vào chuyên toán ko ak?

conan1984 · 19-06-2010, 04:08 PM

Bài 2 :
2) Đặt $ a - c = c - b = d - a = n $ -> $ a = c +n, b = c - n, d = c + 2n $ và $ a + b + c + d = 4c + 2n = 2(n+2c)(1) $
Theo Viet ta có : $ ab = -5d, cd = -5b $, từ đó ta có các phương trình sau : $ n^2 - c^2 = 5c + 10n, c^2 + 2nc = 5n - 5c $, cộng hai phương trình với nhau ta được $ n^2 + 2nc = 15n $ hay $ n + 2c = 15 $, thay vào $(1) $ ta có điều phải chứng minh.

Bài 3 :
a) Do $ m > n $ -> $ S = m^2.n^2 - 4(m-n) < m^2n^2 $ -> $n^2.S < m^2.n^4 (1) $.
$n^2.S > (m.n^2 - 2)^2 = m^2.n^4 - 4m.n^2 + 4 $ <=> $m^2.n^4 - 4mn^2 + 4n^3 > m^2n^4 - 4mn^2 + 4 $ <=>
$n^3 - mn^2 > 1 - mn^2 $ <=>$n^3 > 1 $ (đúng vì $n > 1) (2) $.
Từ (1) và (2) suy ra dpcm

2) Ta có $ S = k^2 $
+)$ m > n $ : Theo câu 1 ta có $(mn^2-2)^2 < n^2.S < m^2.n^4 $, suy ra $ mn - 2 < (mn - \frac{2}{n}) < k < mn $ -> $ mn - 2 < k < mn $ -> $k = mn - 1 $. Khi đó thay vào biểu thức ban đầu ta có : $ S = m^2n^2 - 4m + 4n = (mn-1)^2 = m^2n^2 - 2mn + 1 $ hay $ 4(m-n) = 2mn- 1 $ (vô lý).
+)$ m < n $: Ta có $ S = m^2n^2 +4(n-m) > m^2n^2 $
Lại có $(m-1)(n-1) >= 0 $ <=> $ mn + 1 > m + n $ <=> $4mn + 4 > 4m + 4n > 4n - 4m $ -> $(mn+2)^2 > m^2n^2 + 4n - 4m = S $. Từ đó suy ra $ mn + 2 > k > mn $ -> $ k = mn + 1 $. Thay vào phương trình ban đầu ta cũng suy ra vô lý.

Vậy $ m = n $

Bài 5:

Giả sử 3 số ban đầu là $ a, b , c $. Các số trên bảng sau khi thay là $ A = \frac{a+b}{\sqrt{2}}, B = \frac{|a-b|}{\sqrt{2}}, C = c $.
Ta có :
$ A^2 + B^2 + C^2 = \frac{(a+b)^2}{2} + \frac{(a-b)^2}{2} + c^2 = \frac{2(a^2+b^2)}{2} + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 2 + 4 + 1/2 = \frac{13}{2} $.

Rõ ràng cho dù tiến hành bao nhiêu bước thì tổng các bình phương của 3 số trên bảng luôn không đổi và bằng $\frac{13}{2} $. Ta thấy rằng $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^2 + (\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt(2))^2 \neq \frac{13}{2} $. Vậy trên bảng không thể tồn tại đồng thời 3 số đã cho (dpcm)

99 · 19-06-2010, 04:17 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Evarist Galois

anh 99 ơi, anh có bit điểm chuẩn vào chuyên toán ko ak?

Đương nhiên không biết.

khong_hai · 19-06-2010, 07:35 PM

Được giải tỉnh thi chuyen SP có được cộng điểm không hả các anh. Liệu 29 điểm có đỗ chuyên tin không nhỉ

------------------------------
Em cũng tham gia kì thi đó chẳng hiểu sao em chỉ không làm được câu b bài 2 mà người ta cho 7.5 điểm. Em tưởng SP chấm điểm dễ lắm cơ mà.Người ta chỉ chấm hướng giải thôi, vì đây là cuộc thi tìm người tài.

**Mr Stoke** · 19-06-2010, 09:08 PM

29 điểm thì chắc đỗ chuyên Tin rồi. Đây là đáp án của hai ngày, MS lưu ý rằng đã xóa hết thang điểm, ngoài ra mỗi bài toán có thể còn nhiều cách hay và đẹp hơn đáp án.

Mà sao anh cũng đi chấm mà không thấy 99 nhỉ?

modular · 19-06-2010, 11:27 PM

Sau này có bị hack mà mất file trên thì vào đây
[Only registered and activated users can see links. ] . Có cả đề dạng pdf luôn.

99 · 20-06-2010, 12:40 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Mà sao anh cũng đi chấm mà không thấy 99 nhỉ?

Em ngồi bàn cuối ý mà, gần 5 năm không gặp, nên anh không nhận ra cũng phải thôi

abstract · 20-06-2010, 07:40 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Em ngồi bàn cuối ý mà, gần 5 năm không gặp, nên anh không nhận ra cũng phải thôi

sinh viên cũng tham gia chấm bài hả các bác,e biết cái này nhưng không hiểu lă,s

dangchienbn · 20-06-2010, 08:48 AM

Hai người họ là giáo viên sư phạm đấy bạn

18-06-2010, 02:08 PM	#1
kaka_math +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 54 Thanks: 11 Thanked 86 Times in 20 Posts	Đề thi tuyển sinh lớp 10 SPHN 2010 Vòng 2 Câu 1: 1) Giả sử $a $ và $b $ là 2 số dương khác nhau và thỏa mãn $a - b = \sqrt{1 - b^2 } - \sqrt{1 - a^2 } $. Cmr: $a^2 + b^2 = 1 $. 2) Cmr: $\sqrt{2009^2 + 2009^2.2010^2+2010^2} $ là một số nguyên dương. Câu 2: Giả sử bốn số thực $a, b, c, d $ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau: i) PT $x^2 - 2cx - 5d = 0 $ có 2 nghiệm $a, b $. ii) PT $x^2 - 2ax - 5b = 0 $ có 2 nghiệm $c, d $. Cmr: 1. $a - c = c - b = d - a $. 2. $a + b + c + d = 30 $. Câu 3: Giả sử $m $ và $n $ là những số nguyên dương với $n > 1 $. Đặt $S = m^2 n^2 - 4m + 4n $. Cmr: 1) Nếu $m > n $ thì $(mn^2 - 2)^2 < n^2 S < m^2 n^4 $. 2) Nếu $S $ là số chính phương thì $m = n $. Câu 4: Cho tam giác $ABC $ với $AB > AC, AB > BC $. Trên cạnh $AB $ của tam giác $ABC $ lấy các điểm $M $ và $N $ sao cho $BC = BM $ và $AC = AN. $. 1) Cmr: điểm $N $ nằm trong đoạn thẳng $BM $. 2) Qua M và $N $ kẻ $MP // BC $ và $NQ // CA $. Cmr: $CP = CQ $. 3) Cho $\widehat{ACB} = 90^o, \widehat{CAB} = 30^o $ và $AB = a $. Tính $S_{MCN} $ theo $a $. Câu 5: Trên một bảng đen ta viết 3 số $\sqrt{2}, 2, \frac{1}{\sqrt{2}} $. Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xóa 2 số nào đó trong 3 số trên bảng, giả sử là a và b, rồi viết vào 2 vị trí vừa xóa 2 số mới là $\frac{a + b}{\sqrt{2}} $ và $\frac{\|a - b\|}{\sqrt{2}} $, đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có 3 số. Cmr: dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không thể có đồng thời 3 số $\frac{1}{2\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2} $.

19-06-2010, 04:08 PM	#8
conan1984 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Đến từ: Australia Bài gởi: 44 Thanks: 0 Thanked 35 Times in 23 Posts	Bài 2 : 2) Đặt $ a - c = c - b = d - a = n $ -> $ a = c +n, b = c - n, d = c + 2n $ và $ a + b + c + d = 4c + 2n = 2(n+2c)(1) $ Theo Viet ta có : $ ab = -5d, cd = -5b $, từ đó ta có các phương trình sau : $ n^2 - c^2 = 5c + 10n, c^2 + 2nc = 5n - 5c $, cộng hai phương trình với nhau ta được $ n^2 + 2nc = 15n $ hay $ n + 2c = 15 $, thay vào $(1) $ ta có điều phải chứng minh. Bài 3 : a) Do $ m > n $ -> $ S = m^2.n^2 - 4(m-n) < m^2n^2 $ -> $n^2.S < m^2.n^4 (1) $. $n^2.S > (m.n^2 - 2)^2 = m^2.n^4 - 4m.n^2 + 4 $ <=> $m^2.n^4 - 4mn^2 + 4n^3 > m^2n^4 - 4mn^2 + 4 $ <=> $n^3 - mn^2 > 1 - mn^2 $ <=>$n^3 > 1 $ (đúng vì $n > 1) (2) $. Từ (1) và (2) suy ra dpcm 2) Ta có $ S = k^2 $ +)$ m > n $ : Theo câu 1 ta có $(mn^2-2)^2 < n^2.S < m^2.n^4 $, suy ra $ mn - 2 < (mn - \frac{2}{n}) < k < mn $ -> $ mn - 2 < k < mn $ -> $k = mn - 1 $. Khi đó thay vào biểu thức ban đầu ta có : $ S = m^2n^2 - 4m + 4n = (mn-1)^2 = m^2n^2 - 2mn + 1 $ hay $ 4(m-n) = 2mn- 1 $ (vô lý). +)$ m < n $: Ta có $ S = m^2n^2 +4(n-m) > m^2n^2 $ Lại có $(m-1)(n-1) >= 0 $ <=> $ mn + 1 > m + n $ <=> $4mn + 4 > 4m + 4n > 4n - 4m $ -> $(mn+2)^2 > m^2n^2 + 4n - 4m = S $. Từ đó suy ra $ mn + 2 > k > mn $ -> $ k = mn + 1 $. Thay vào phương trình ban đầu ta cũng suy ra vô lý. Vậy $ m = n $ Bài 5: Giả sử 3 số ban đầu là $ a, b , c $. Các số trên bảng sau khi thay là $ A = \frac{a+b}{\sqrt{2}}, B = \frac{\|a-b\|}{\sqrt{2}}, C = c $. Ta có : $ A^2 + B^2 + C^2 = \frac{(a+b)^2}{2} + \frac{(a-b)^2}{2} + c^2 = \frac{2(a^2+b^2)}{2} + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 2 + 4 + 1/2 = \frac{13}{2} $. Rõ ràng cho dù tiến hành bao nhiêu bước thì tổng các bình phương của 3 số trên bảng luôn không đổi và bằng $\frac{13}{2} $. Ta thấy rằng $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^2 + (\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt(2))^2 \neq \frac{13}{2} $. Vậy trên bảng không thể tồn tại đồng thời 3 số đã cho (dpcm) thay đổi nội dung bởi: conan1984, 19-06-2010 lúc 08:01 PM

19-06-2010, 07:35 PM	#10
khong_hai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2009 Bài gởi: 41 Thanks: 24 Thanked 11 Times in 10 Posts	Được giải tỉnh thi chuyen SP có được cộng điểm không hả các anh. Liệu 29 điểm có đỗ chuyên tin không nhỉ ------------------------------ Em cũng tham gia kì thi đó chẳng hiểu sao em chỉ không làm được câu b bài 2 mà người ta cho 7.5 điểm. Em tưởng SP chấm điểm dễ lắm cơ mà.Người ta chỉ chấm hướng giải thôi, vì đây là cuộc thi tìm người tài. thay đổi nội dung bởi: khong_hai, 19-06-2010 lúc 07:39 PM Lý do: Tự động gộp bài

19-06-2010, 09:08 PM	#11
Mr Stoke +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts	29 điểm thì chắc đỗ chuyên Tin rồi. Đây là đáp án của hai ngày, MS lưu ý rằng đã xóa hết thang điểm, ngoài ra mỗi bài toán có thể còn nhiều cách hay và đẹp hơn đáp án. Mà sao anh cũng đi chấm mà không thấy 99 nhỉ? thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 11-11-2011 lúc 01:44 PM

18-06-2010, 06:12 PM	#2
cun +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2010 Bài gởi: 44 Thanks: 101 Thanked 4 Times in 4 Posts	Đã là 2 số nguyên dương khác nhau sao tổng bình phương của chúng bằng 1. Vô lý. Có thể là 2 số dương khác nhau, phải không?

19-06-2010, 12:40 AM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bạn ý nhầm đấy, 99 sửa lại rồi. 99 có tham gia chấm bài, thấy có một điều hóm hỉnh là : nhiều thí sinh làm được câu 5 rất tốt, nhưng giải một số câu khác thì như người không biết học Toán. Bạn nào giải thích được hiện tượng nài

19-06-2010, 07:31 AM	#4
pthao12o8 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 12 Thanks: 8 Thanked 1 Time in 1 Post	anh 99 ơii.anh cho e lời giải phần 2 của câu 2 vs câu 3.thanks anh nhiều nhé

19-06-2010, 02:55 PM	#5
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Chaiz, xin lỗi bạn về việc này, thứ nhất là mình quên lời giải nó cụ thể thế nào rồi, thứ hai là ngồi gõ ra cũng vất vả

19-06-2010, 03:41 PM	#6
Evarist Galois +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Từ A0 đến FTU Bài gởi: 320 Thanks: 57 Thanked 180 Times in 95 Posts	anh 99 ơi, anh có bit điểm chuẩn vào chuyên toán ko ak?

19-06-2010, 11:27 PM	#12
modular B&S-D Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 589 Thanks: 395 Thanked 147 Times in 65 Posts	Sau này có bị hack mà mất file trên thì vào đây [Only registered and activated users can see links. ] . Có cả đề dạng pdf luôn.

20-06-2010, 08:48 AM	#15
dangchienbn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 78 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 8 Posts	Hai người họ là giáo viên sư phạm đấy bạn