Đề thi chuyên toán Vĩnh Phúc năm 2011-2012

[DaiToan]

Bài 1: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {c^2 (a^2 + b^2 )^2 + a^2 (b^2 + c^2 )^2 + b^2 (a^2 + c^2 )^2 } \ge \frac{{54(abc)^3 }}{{(a + b + c)^2 \sqrt {(ab)^4 + (bc)^4 + (ca)^4 } }}$ $.

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC>CA>AB nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho BD=BE=CA. Đường tròn (BDE) cắt cạnh AC tại P, đường thẳng BP cắt (O) tại điểm thứ hai Q.
a) Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
b) Chứng minh BP=AQ+CQ.
Bài 3: Cho đa giác lồi $$A_1 A_2 ...A_{100} $ $.Tại mỗi đỉnh $$A_k (k = 1,2,...,100)$ $người ta ghi một số thực $$a_k $ $sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một phân biệt.
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:$\[
x^4 - x^3 + 1 = y^2
\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi daitoancvp

[
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC>CA>AB nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho BD=BE=CA. Đường tròn (BDE) cắt cạnh AC tại P, đường thẳng BP cắt (O) tại điểm thứ hai Q.
a) Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
b) Chứng minh BP=AQ+CQ.

a.
Ta có [M]\widehat{PED} = \widehat{PBD} = \widehat{QAC}[/M] và [M]\widehat{PDE} = \widehat{PBE} = \widehat{QAC}[/M].
Do đó [M]\triangle AQC \sim \triangle EPD \; \text{(g.g)}[/M].
b.
Áp dụng định lý Ptolemy và giả thiết [M]BD=BE=AC[/M], ta có [M]BP \cdot DE = AC (PD+PE)[/M]
[M]\Rightarrow BP=\frac{AC(PD+PE)}{DE}[/M].
Theo câu a, ta có [M]\frac{PD}{QC}=\frac{PE}{QA} = \frac{ED}{AC}[/M].
Vì vậy [M]BP=QA+QC[/M] (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buon qua]

Nguyên văn bởi daitoancvp

Bài 1: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {c^2 (a^2 + b^2 )^2 + a^2 (b^2 + c^2 )^2 + b^2 (a^2 + c^2 )^2 } \ge \frac{{54(abc)^3 }}{{(a + b + c)^2 \sqrt {(ab)^4 + (bc)^4 + (ca)^4 } }}$ $.

Nguyên văn bởi magic

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$ (a+b+c)^2.\sqrt{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4}\sqrt{c^2(a^2 +b^2)^2+b^2(c^2+a^2)^2+a^2(b^2+c^2)^2} \ge 9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.\sqrt[6]{27a^8b^8c^8}.\sqrt{12a^2b^2c^2}=54(abc)^3. $

http://math.vn/showthread.php?t=11251.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

Bài 4/ x=0;1: thỏa mãn bài toán.
Với các giá trị còn lại của x: Chặn được: $(2x^2-x)^2 \geq (2y)^2 \geq (2x^2-x-1)^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Em thử bài 3 cho máu.
Không mất tính tổng quát giả sử $a_{1} $ là số nhỏ nhất
Ta đặt $x_{k}=a_{k+1}-a_{k}, a_{101}=a_{1} $
Dễ thấy $\sum_{1}^{100}x_{k}=0 $
Nhận xét: với 100 số $x_{k} $ thỏa điều kiện( có trị tuyệt đối là 2 hoặc 3, tổng bằng 0), ta hoàn toàn có thể đổi thứ tự các số này để lập được đa giác mới thỏa mãn( các đỉnh có thể tính theo $a_{1} $ và các số $x_{k} $. Gọi tổng các số dương trong tập {$x_{k},1\leqslant k\leqslant 100 $} là T, tổng các số âm sẽ là -T.
Với mỗi bộ 100 số $x_{k} $ thỏa mãn, hiệu lớn nhất là hiệu giữa số lớn nhất có thể tạo và $a_{1} $, số lớn nhất có thể tạo được chính là $a_{1}+T $ bằng cách xếp liền tất cả các số $x_{k}>0 $ liên tiếp nhau.
Vậy hiệu lớn nhất là T.
Lại có $\left | T \right | +\left | -T \right |\leqslant 300 $ nên $T\leqslant 150 $.
Nếu T=150, ta buộc phải để trị tuyệt đối tất cả $x_{k} $ là 3, khi đó sẽ không thỏa điều kiện các số phân biệt. Vậy $T\leqslant 149 $. Ta chỉ ra 1 cách thỏa mãn T=149 sau:$a_{1}=1,a_{2}=4...a_{50}=148,a_{51}=150,a_{52}=147 ...a_{100}=3 $. Vậy đáp số là 149.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

Bài 3/
Gọi số lớn nhất dãy là $B_{51} $; số nhỏ nhất là $B_1 $
Theo đề bài ta có với 2 số bất kì trong dãy a,b ta phải có: $a-b \leq 3 \rightarrow a \leq b+3 $
Từ $B_{51} $ đến $B_1 $ có hai "con đường", trong đó một con đường phải qua ít hơn 49 số, giả sử là $B_2;...;B_{50} $.
Ta có: $B_{51} \leq B_{50}+3 \leq ... \leq B_1+150 \rightarrow B_{51}-B_1 \leq 150 $.
Giả sử $B_{51}-B_1=150 $ thì không thể thực hiện được (Do khi đó con đường thứ hai phải đi qua ít nhất 1 số chỉ hơn kém số bên cạnh 2 đơn vị, để thỏa điều kiện các số trong dãy đôi một khác nhau; kết hợp với điều kiện con đường thứ hai đi qua 49 số thì suy ra điều vô lí vì được $B_{51}-B_1<150 $).
Với $B_{51}-B_1=149 $ ta có cách xếp: $0;3;6;...;147;149;146;143;...;2 $ (theo vòng tròn).
Vậy giá trị lớn nhất có thể có là 149.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi pth_tdn

Bài 3/
Gọi số lớn nhất dãy là $B_{51} $; số nhỏ nhất là $B_1 $
Theo đề bài ta có với 2 số bất kì trong dãy a,b ta phải có: $a-b \leq 3 \rightarrow a \leq b+3 $
Từ $B_{51} $ đến $B_1 $ có hai "con đường", trong đó một con đường phải qua ít hơn 49 số, giả sử là $B_2;...;B_{50} $.
Ta có: $B_{51} \leq B_{50}+3 \leq ... \leq B_1+150 \rightarrow B_{51}-B_1 \leq 150 $.
Giả sử $B_{51}-B_1=150 $ thì không thể thực hiện được (Do khi đó con đường thứ hai phải đi qua ít nhất 1 số chỉ hơn kém số bên cạnh 2 đơn vị, để thỏa điều kiện các số trong dãy đôi một khác nhau; kết hợp với điều kiện con đường thứ hai đi qua 49 số thì suy ra điều vô lí vì được $B_{51}-B_1<150 $).
Với $B_{51}-B_1=149 $ ta có cách xếp: $0;3;6;...;147;149;146;143;...;2 $ (theo vòng tròn).
Vậy giá trị lớn nhất có thể có là 149.

Mình thấy chỗ giả sử của bạn không ổn, sao lại lấy luôn cả 1 và 51 vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

Mình lấy kí hiệu B để không liên quan gì đến thứ tự A trong đề bài.
Cách mình có vẻ mò mẫm và rườm rà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenthang]

Chắc bài 1 làm Bunhiacopski, để mình thử làm xem, dạng bài giống đề thi HSG năm 2009
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuyentoan_cvp]

Nguyên văn bởi daitoancvp

Bài 1: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {c^2 (a^2 + b^2 )^2 + a^2 (b^2 + c^2 )^2 + b^2 (a^2 + c^2 )^2 } \ge \frac{{54(abc)^3 }}{{(a + b + c)^2 \sqrt {(ab)^4 + (bc)^4 + (ca)^4 } }}$ $.

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC>CA>AB nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho BD=BE=CA. Đường tròn (BDE) cắt cạnh AC tại P, đường thẳng BP cắt (O) tại điểm thứ hai Q.
a) Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
b) Chứng minh BP=AQ+CQ.
Bài 3: Cho đa giác lồi $$A_1 A_2 ...A_{100} $ $.Tại mỗi đỉnh $$A_k (k = 1,2,...,100)$ $người ta ghi một số thực $$a_k $ $sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một phân biệt.
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:$\[
x^4 - x^3 + 1 = y^2
\]
$

Bài 1: AM-GM hiển nhiên.
Bài 2: Khá phù hợp lớp 9 hay dùng cái Ptôlêmê ấy mà.
Bài 3: Có thể đếm truy hồi cũng ra. Chắc đây là bài khó nhất @@
Bài 4: PT nghiệm nguyên pp kẹp

@daitoancvp: thầy Đại dùng cả hai nick trên diễn đàn cơ à thầy@@. Mà sao năm nay đề có vẻ ngắn hơn thế nhi???

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]