Bài toán về phân số

[kenzie]

Giả sử $A;\,B\in\mathbb Z$ thỏa mãn\[1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{131} =\dfrac{A}{B}\]
Chứng minh rằng $A$ là một hợp số.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lindakieu201]

Nguyên văn bởi kenzie

Giả sử $A;\,B\in\mathbb Z$ thỏa mãn\[1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{131} =\dfrac{A}{B}\]
Chứng minh rằng $A$ là một hợp số.

Với số nguyên dương $k$, đặt $m_k=(k+5)(132-k)$ ta có
\[\begin{array}{l}
1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{{131}} &= \left( {1 + \dfrac{1}{2} + .. + \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{131}}} \right) + .. + \left( {\dfrac{1}{{68}} + \dfrac{1}{{69}}} \right)\\
&= \dfrac{{137}}{{60}} + \dfrac{{137}}{{{m_1}}} + \ldots + \dfrac{{137}}{{{m_{63}}}}
\end{array}\]
Giả sử $M$ là bội số chung nhỏ nhất của $60;\,m_1;\,m_2;\,\ldots ;\,m_{63}$, do $137$ là số nguyên tố còn $60;\,m_1;\,m_2;\,\ldots ;\,m_{63}$ đều là tích của các số nguyên dương bé hơn $137$ nên $M$ và $137$ nguyên tố cùng nhau, đồng thời
\[M.A = 137.B.\left( {\frac{M}{{60}} + \frac{M}{{{m_1}}} + \ldots + \frac{M}{{{m_{63}}}}} \right)\]
Do $60\mid M$ và $m_k\mid M\;\forall\,k=\overline{1;\,2;\,\ldots ;\,63}$ nên
\[137\mid M.A\]
Và vì $M$ và $137$ nguyên tố cùng nhau nên có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]