Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2018, 12:13 PM   #1
kenzie
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2017
Bài gởi: 7
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Bài Số Học VMO 2018

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$
  1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
  2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kenzie is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 12:18 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 24
Thanks: 3
Thanked 12 Times in 10 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kenzie View Post
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$
  1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
  2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.
Tất cả gói gọn trong công thức sau
\[{x_{m + n}} = {x_m}{x_n} + {\left( { - 1} \right)^{n+1}}{x_{m - n}}\quad\forall\,m;\,n\in\mathbb Z^+, m\ge n\;(*).\]
a-Với $n>2k$, ta có
\[{x_n} = {x_{n - k}}{x_k} + {\left( { - 1} \right)^{k+1}}{x_{n - 2k}} \equiv {\left( { - 1} \right)^{k+1}}{x_{n - 2k}}\pmod{x_k}.\]
Từ đây nếu $n=kp$, trong đó $p\in\mathcal P\setminus\{2\}$ và $k>1$ thì
\[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{(p - 1)(k+1)}}{2}}}{x_k} \equiv 0\pmod{x_k}.\]
Vì dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$ nên $x_k>x_1=1$ và $x_n>x_k$, cho nên $x_n$ không là số nguyên tố.

Vậy nếu $x_n$ là số nguyên tố, thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.

b-Nếu $m=0$, dễ thấy để $x_m\mid x_n$ thì $3\mid n$, còn $m=1$ thì mọi $n$ đều thoả. Ta xét với $m>1$, khi đó viết phép chia
\[n = qm + r.\]
Ta xét các trường hợp sau:
  1. Nếu $q=0$, thì do dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$ nên $1\le x_r<x_m$ nên không thoả.
  2. Nếu $q$ chẵn, từ $(*)$ ta có
    \[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{q(m+1)}}{2}}}{x_r}\pmod{x_m}\]
    Cho nên không thể có $x_m\mid x_n$, bởi nếu không phải có $x_n\mid x_r$ mà $1\le x_r<x_n$.
  3. Nếu $q$ lẻ, từ $(*)$ ta lại có
    \[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{\left( {q - 1} \right){(m+1)}}}{2}}}{x_{m + r}}.\]
    Cho nên để $x_m\mid x_n$ thì $x_m\mid x_{m+r}$.
    • Nếu $r>0$, lại để ý đẳng thức
      \[{x_{m + r}} = {x_{2m + r - m}} = {x_r}{x_m} - {\left( { - 1} \right)^r}{x_{m - r}}.\]
      Vậy nếu $x_m\mid x_n$ thì $x_m\mid x_{m-r}$, nhưng điều này là không thể do dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$.
    • Nếu $r=0$, tức $n$ là bội lẻ của $m$ thì rõ ràng $x_n\mid x_m$.
Tóm lại, các cặp thoả mãn là $(0;\,3k)$, $(1;\,n)$ và $(m;\,(2k+1)m)$ với $m\in\mathbb Z^+\setminus\{1\},\,n;\,k\in\mathbb N$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 12-01-2018 lúc 01:31 PM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
thaygiaocht (14-01-2018)
Old 12-01-2018, 12:47 PM   #3
vnt.hnue
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 4
Thanks: 4
Thanked 0 Times in 0 Posts
Sử dụng tính chất của số Lucas : $x_{n}|x_{mn}$, với m lẻ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 12-01-2018 lúc 02:47 PM
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 01:13 PM   #4
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 24
Thanks: 3
Thanked 12 Times in 10 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi vnt.hnue View Post
Cả 2 câu được suy ra trực tiếp từ tính chất của dãy Lucas :
$$x_{n}|x_{mn}$$
Không ngây thơ thế đâu $x_2=3;\,x_3=4;\,x_4=7;\,x_5=11$ và $x_6=18$ mà em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 12-01-2018 lúc 01:48 PM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 01:22 PM   #5
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 141
Thanks: 24
Thanked 15 Times in 12 Posts
Vậy thì giải pt sai phân xem thử sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 03:13 PM   #6
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 163
Thanks: 788
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kenzie View Post
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$
  1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
  2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.
Có thể tiếp cận 6 theo kiểu đại số



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg 06.jpg (84.1 KB, 78 lần tải)
Kiểu File : jpg 11.jpg (68.6 KB, 34 lần tải)
Kiểu File : jpg 13.jpg (59.6 KB, 36 lần tải)
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 13-01-2018 lúc 01:52 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-01-2018, 12:49 AM   #7
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 24
Thanks: 3
Thanked 12 Times in 10 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Có thể tiếp cận 6 theo kiểu đại số
[Only registered and activated users can see links. ]
[Only registered and activated users can see links. ]
Lời giải của cu Luật, chưa xử lý được vấn đề cơ bản sau: Nếu $n$ không chia hết cho $m$, thì liệu $x_n$ có thể là bội số của $x_m$ hay không?

PS. Mà trình bày nhọ quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
thaygiaocht (13-01-2018)
Old 13-01-2018, 12:27 PM   #8
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 163
Thanks: 788
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Nếu $n$ không chia hết cho $m$, thì liệu $x_n$ có thể là bội số của $x_m$ hay không?
Đúng rồi chỗ đó thiếu, em đã bổ sung (tư tưởng vẫn là biểu diễn $n=km+r$ theo 2 cách).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 13-01-2018 lúc 01:46 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:50 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 69.24 k/79.36 k (12.75%)]