Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-11-2013, 11:10 AM   #1
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Chứng minh $x^2+y^2+z^2 \leq 11$

Vấn đề: Cho các số thực $x,y,z \in [-1,3]$ thõa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2 \leq 11$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-11-2013, 08:52 PM   #2
tstarnpro
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gởi: 17
Thanks: 2
Thanked 12 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Highschoolmath View Post
Vấn đề: Cho các số thực $x,y,z \in [-1,3]$ thõa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2 \leq 11$.
Giả sử: $x \leq y \leq z$
Dễ có: $-1 \leq x \leq 1$
$y+z \leq 4$
$1 \leq z \leq 3$
$(z-1)(z-3) \leq 0 \Leftrightarrow z^2 \leq 4z-3$
Từ đó: $x^2+y^2+z^2 \leq 1+y^2+4z-3 \leq 1+(4-z)^2+4z-3=(z-2)^2+10 \leq 11$ (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tstarnpro is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tstarnpro For This Useful Post:
Highschoolmath (03-11-2013)
Old 04-11-2013, 08:46 PM   #3
SuccessNguyen
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gởi: 5
Thanks: 1
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi tstarnpro View Post
Giả sử: $x \leq y \leq z$
Dễ có: $-1 \leq x \leq 1$
$y+z \leq 4$
$1 \leq z \leq 3$
$(z-1)(z-3) \leq 0 \Leftrightarrow z^2 \leq 4z-3$
Từ đó: $x^2+y^2+z^2 \leq 1+y^2+4z-3 \leq 1+(4-z)^2+4z-3=(z-2)^2+10 \leq 11$ (đpcm)
Dấu = thì sao
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
SuccessNguyen is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-11-2013, 09:09 PM   #4
smallchicken07
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gởi: 28
Thanks: 4
Thanked 23 Times in 14 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi SuccessNguyen View Post
Dấu = thì sao
Chắc là x = -1 ; y = 1 ; z = 3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
smallchicken07 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-11-2013, 10:02 PM   #5
tstarnpro
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gởi: 17
Thanks: 2
Thanked 12 Times in 6 Posts
Ở trên mình sử dụng hơi thừa. Có lẽ chỉ cần như vậy thôi
Giả sử: $x \leq y \leq z$
Ta có: $-1\ \leq x \leq 1$
$y+z \leq 4$
$1 \leq z \leq 3$
Từ đó: $x^2+y^2+z^2 \leq 1+(4-z)^2+z^2=2(z-2)^2+9 \leq 11$
Dấu "=" xảy ra khi: $x=-1; y=1; z=3$ và các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tstarnpro is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-11-2013, 10:49 PM   #6
Aotrang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Bắc Ninh
Bài gởi: 117
Thanks: 39
Thanked 57 Times in 39 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Highschoolmath View Post
Vấn đề: Cho các số thực $x,y,z \in [-1,3]$ thõa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2 \leq 11$.
Bài này có một số cách làm, trong đó cách làm sau đây tương đối đơn giản:
Một mặt ta có
$$(x+1)(y+1)(z+1)\ge 0.$$
Khai triển ra ta được
$$xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\ge 0,$$
hay $$xyz+(xy+yz+zx)\ge -4\quad (1).$$
Mặt khác, khai triển $$(x-3)(y-3)(z-3)\le 0$$
ta thu được
$$xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\le 0,$$
hay $$-xyz+3(xy+yz+zx)\ge 0\quad(2).$$
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được
$$ xy+yz+zx\ge-1,$$
hay $$(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\ge -2.$$
Điều này tương đương với
$$x^2+y^2+z^2\le 11.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Aotrang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Aotrang For This Useful Post:
smallchicken07 (05-11-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:37 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 56.63 k/63.91 k (11.39%)]