|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-11-2013, 11:10 AM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Chứng minh $x^2+y^2+z^2 \leq 11$ Vấn đề: Cho các số thực $x,y,z \in [-1,3]$ thõa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2 \leq 11$. __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... |
03-11-2013, 08:52 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2013 Bài gởi: 17 Thanks: 2 Thanked 12 Times in 6 Posts | Trích:
Dễ có: $-1 \leq x \leq 1$ $y+z \leq 4$ $1 \leq z \leq 3$ $(z-1)(z-3) \leq 0 \Leftrightarrow z^2 \leq 4z-3$ Từ đó: $x^2+y^2+z^2 \leq 1+y^2+4z-3 \leq 1+(4-z)^2+4z-3=(z-2)^2+10 \leq 11$ (đpcm) | |
The Following User Says Thank You to tstarnpro For This Useful Post: | Highschoolmath (03-11-2013) |
04-11-2013, 08:46 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post | |
04-11-2013, 09:09 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2013 Bài gởi: 28 Thanks: 4 Thanked 23 Times in 14 Posts | |
04-11-2013, 10:02 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2013 Bài gởi: 17 Thanks: 2 Thanked 12 Times in 6 Posts | Ở trên mình sử dụng hơi thừa. Có lẽ chỉ cần như vậy thôi Giả sử: $x \leq y \leq z$ Ta có: $-1\ \leq x \leq 1$ $y+z \leq 4$ $1 \leq z \leq 3$ Từ đó: $x^2+y^2+z^2 \leq 1+(4-z)^2+z^2=2(z-2)^2+9 \leq 11$ Dấu "=" xảy ra khi: $x=-1; y=1; z=3$ và các hoán vị. |
04-11-2013, 10:49 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Đến từ: Bắc Ninh Bài gởi: 117 Thanks: 39 Thanked 57 Times in 39 Posts | Trích:
Một mặt ta có $$(x+1)(y+1)(z+1)\ge 0.$$ Khai triển ra ta được $$xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\ge 0,$$ hay $$xyz+(xy+yz+zx)\ge -4\quad (1).$$ Mặt khác, khai triển $$(x-3)(y-3)(z-3)\le 0$$ ta thu được $$xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\le 0,$$ hay $$-xyz+3(xy+yz+zx)\ge 0\quad(2).$$ Cộng (1) và (2) vế với vế ta được $$ xy+yz+zx\ge-1,$$ hay $$(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\ge -2.$$ Điều này tương đương với $$x^2+y^2+z^2\le 11.$$ | |
The Following User Says Thank You to Aotrang For This Useful Post: | smallchicken07 (05-11-2013) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|