|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
14-08-2013, 11:04 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | [Vòng 2]Đề chọn đội tuyển trường THPT số 1, Bình Định Ngày 1 Bài 1: Cho số thực dương $a$, xét dãy $(u_{n})$ thỏa: $au_{1} = 1$,$ u_{n}+u_{n}u_{n-1} = 1$. a) Tính $u_{n}$ theo $a$ và $n$ b) Tìm giới hạn của $(u_{n})$. Bài 2: Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(1)=1$, $f(x)f(2y)+f(2x) +f(y)=f(2xy)+f(x)+f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$ Bài 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{2y}+\sqrt{3z}=\sqrt{1+\sqrt{8xy} + \sqrt{12xz}+\sqrt{24yz}}\\ x^{2} + 4y^{2} + 3z = 2x +4y-16xy\\ x^{3}+8y^{3}=2xy \end{matrix}\right. $ Bài 4: Cho tam giác $ABC$, gọi $(O_{1}), (O_{2})$ là các đường tròn có tâm lần lượt thay đổi trên cạnh $AB, AC$ của tam giác. Giả sử 2 đường tròn này cắt nhau tại 1 điểm $D$ thuộc $BC$.$ E, F$ lần lượt nằm trên $(O_{1}), (O_{2})$ sao cho $DE,DF$ vuông góc $AB,AC$. a) Chứng minh trung điểm $EF$ di động trên 1 đường thẳng cố định. b) $(O_{1})$ cắt $(O_{2})$ tại điểm thứ hai $M$ . Chứng minh tâm $(MEF)$ thuộc 1 đường thẳng cố định. Bài 5:Trong 1 trò chơi có $2013$ bạn tham gia, BTC đưa cho mỗi bạn 1 số viên sỏi sao cho mỗi bạn đều nhận được ít nhất $1$ viên sỏi. Sau đó, BTC lần lượt hỏi $2$ bạn bất kỳ và ghi nhận số sỏi chênh lệch giữa $2$ bạn đó cho đến khi mỗi bạn đều được hỏi đúng $2012$ lần với 2012 bạn còn lại. Cuối cùng, BTC tính tổng số sỏi chênh lệch của các lần hỏi, gọi $k$ là tổng số sỏi chênh lệch đó. Xác định số viên sỏi ít nhất đã được phát ra nếu: a) $k=6039$. b) $k=6036$ thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 14-08-2013 lúc 06:54 PM |
The Following 4 Users Say Thank You to ikariam123 For This Useful Post: |
14-08-2013, 12:58 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 46 Thanks: 25 Thanked 35 Times in 12 Posts | Bài 1 dãy đã xác định đâu nhỉ Phải có $u_2$ nữa chứ nhỉ |
The Following User Says Thank You to let_wind_go For This Useful Post: | ikariam123 (14-08-2013) |
14-08-2013, 02:43 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | |
14-08-2013, 05:28 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 46 Thanks: 25 Thanked 35 Times in 12 Posts | Xét dãy số Fibonacci $F_n$. dùng quy nạp ta cm đc rằng $u_n=\frac{F_{n-1}a+F_{n-2}}{F_na+F_{n-1}}$ Chú ý $\lim_{n \to +\infty } \frac {F_n}{F_{n-1}}=\frac{1+\sqrt5}{2}$ và $\lim_{n \to +\infty } \frac {F_n}{F_{n-2}}=\frac{3+\sqrt 5}{2}$ nên $\lim_{n \to +\infty} u_n=\frac{\frac{1+\sqrt 5}{2}a+1}{\frac{3+\sqrt5}{2}a+\frac{1+\sqrt5}{2}}$ Bài 3 pt2 là $3z$ hay $9z^2$ nhỉ. nếu để như thế thì pt vô nghiệm còn sửa lại sẽ ra nghiệm đẹp thay đổi nội dung bởi: let_wind_go, 14-08-2013 lúc 05:44 PM |
14-08-2013, 06:09 PM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Câu 5 a đề có chuẩn không đó bạn ? mình làm câu 5 b thế này: gọi $a_1, a_2, ..., a_{2013}$ lần lượt là số sỏi của các bạn thứ 1, thứ 2,..., thứ 2013. dễ thấy sẽ có một số bạn có sỏi bằng nhau vì $k=6036 <C_{2013}^{2}$.Số bạn có số sỏi bằng nhau ít nhất là $2010$. Nếu có không nhiều hơn 2009 bạn có số lượng sỏi bằng nhau thì gọi a là số bạn có số sỏi bằng nhau thì $k>a.(2013-a)+(2013-a-1)+(2013-a-2)+...+1>6036 $(vô lí). Lần lượt xét các trường hợp: có 2012 bạn có số sỏi giống nhau,2011 bạn có số sỏi giống nhau, 2010 bạn có số sỏi giống nhau thì thấy TH: có 2012 bạn có a viên sỏi giống nhau và bạn còn lại có $b=a+3$ viên sỏi thỏa yêu cầu đề vì $k=2012(b-a)=6036$. Vì $a \ge 1$ nên lấy $a=1$ và $b=4$ được số sỏi ít nhất là 2016. __________________ i'll try my best. thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 14-08-2013 lúc 06:11 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post: | hoang_kkk (15-08-2013), ikariam123 (16-08-2013) |
14-08-2013, 06:28 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | Bài 3 đúng là vô nghiệm, có thể đổi biến rồi dùng bdt để chứng minh nó vô nghiệm(có thể đây là dụng ý của ngừơi ra đề) bài 5a đề đúng bạn ạ. Có thể c/m không tồn tại số sỏi nào để đạt được k =6039 |
17-08-2013, 10:33 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | Ngày 2 Bài 1: Tìm hằng số $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b,c$: $(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3}\geq 3(abc+k)^{3}$ Bài 2: Cho số nguyên dương $n$. Xét tập $A=${$1;2;3;...;n$} và $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa mãn $m\leq a_i\leq M$ với mọi $i\in A$, trong đó $m,M$ là các hằng số (1) a) Cho $m=1$, tìm $M$ để với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa (1) thì luôn tồn tại các số nguyên phân biệt $x,y,z \in A$ để $a_x, a_y, a_z$ lập thành 3 cạnh 1 tam giác. b) Cho $m=2013$, tìm $M$ để với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa (1) đề với mọi số nguyên phân biệt $x,y,z \in A$ thì $a_x, a_y, a_z$ lập thành 3 cạnh 1 tam giác. Bài 3: Cho $BC$ là dây cung cố định của đường tròn $(O)$. $A$ là điểm di động trên cung $BC$ lớn. $BE, CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. a) Chứng minh đường cao từ $E$ của tam giác $AEF$ đi qua 1 điểm cố định $P$, đường cao từ $F$ của tam giác $AEF$ đi qua 1 điểm cố định $Q$. b) Chứng minh tỷ số $\frac{EP+EQ+FP+FQ}{EB+EC+FB+FC}$ không đổi. Bài 4: Cho hình vuông $n\times n$ được chia làm các hình vuông đơn vị $1\times 1$. Từ các hình vuông đơn vị này, có thể lập được: a) Bao nhiêu hình vuông nhỏ $m\times m$ với $m\leq n$ ? Tính tổng diện tích của chúng. b) Bao nhiệu hình chữ nhật có diện tích $S=1320$ khi $n=2013$? Bài 5: Cho 3 số nguyên dương $x,y,z$ thỏa: $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ a) Chứng minh 3 số $x,y,z$ không thể cùng là số nguyên tố hay số chính phương. b) Giả sử $z$ là số chính phương và $(x;y)=1$. Gọi $d$ là số ước số nguyên dương của $P=xyz$. Chứng minh $d\geq 24$ thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 17-08-2013 lúc 10:59 AM |
The Following 2 Users Say Thank You to ikariam123 For This Useful Post: | quocbaoct10 (17-08-2013), thaygiaocht (01-10-2013) |
17-08-2013, 05:56 PM | #8 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Trích:
$(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3} \ge 3(a^{3}+k)(b^{3}+k)(c^{3}+k)$. Tiếp tục áp dụng bđt Holder, ta có: $(a^{3}+k)(b^{3}+k)(c^{3}+k) \ge (abc+k)^3$ vậy nên $(a^{3}+k)^{3}+(b^{3}+k)^{3}+(c^{3}+k)^{3}\ge 3(abc+k)^{3}$, dấu $"="$ xảy ra khi $k>0$ và $a=b=c$. Vậy nên với mọi $k>0$ thì bđt luôn đúng với mọi số thực dương $a,b,c$. Bài 2 a): với $M=2$, từ các số {1,2} ta không thể tìm được 1 bộ 3 số $x,y,z$ phân biệt để thỏa ycđb bài vì $1+1=2$ (điều này không thỏa bđt tam giác) nên $M \ge 3$. Ta sẽ chứng minh với mọi $M \ge 3$ có các TH mà không thể chọn ra 3 số thỏa ycđb. Vì $M \ge 3$ nên luôn chọn được 3 số $a,b,c \le M$ mà $a+b \le c$, Khi đó, chọn các giá trị cho các số $a_i$={a,b,c} thì $a_i$ luôn không tồn tại 3 số phân biệt thỏa ycđb nên chỉ tồn tại $M=1$ thỏa ycđb. b). Ta sẽ chứng minh với mọi số $M \ge 4026$ thì luôn tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho $a_x+a_y \le a_z$. Ta chọn các giá trị của $a_i$ sao cho $a_i$={2013,4026}, khi đấy sẽ tồn tại $a_x=2013, a_y=2013, a_z=4026$ nên không thể lập thành 1 bộ 3 số là cạnh của tam giác. nếu $2013 \le M \le 4025$ thì khi đấy luôn tồn tại 2 số $a_x+a_y \ge 4026 >4025$ nên với 3 số $x,y,z$ phân biệt luôn có 3 số $a_x,a_y,a_z$ thỏa ycđb. Bài 5. a)dễ thấy nếu $x,y$ là 2 số nguyên tố thì $z$ chẵn nên 3 số $x,y,z$ không thể là số nguyên tố. Giả sử tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho chúng là số chính phương thì đặt $x=a^2,, y=b^2, z=c^2$ thì pt chuyển thành $a^4+b^4=c^4$. Chứng minh cái này vô nghiệm cũng quen thuộc rồi. __________________ i'll try my best. thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 17-08-2013 lúc 06:29 PM | |
17-08-2013, 08:19 PM | #9 | |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Trích:
Câu a. Giá trị của $M=F_n-1$ với $F_n$ là dãy số thỏa mãn: $F_1=F_2=m=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với mọi $n>1$. Câu b. Tương tự. | |
The Following User Says Thank You to tikita For This Useful Post: | ikariam123 (17-08-2013) |
17-08-2013, 08:21 PM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | Bài 1 ngày 2 mình nghĩ bạn giải chưa hoàn chỉnh, bạn chỉ mới c/m bdt đúng với k>0 chứ chưa c/m được đó là tất cả gt k đạt được ( rõ ràng k=0 vẫn thoả mãn) ------------------------------ Trích:
Câu b không hề tương tự đâu bạn ạ (" tồn tại"# " với mọi") thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 17-08-2013 lúc 08:30 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
17-08-2013, 08:50 PM | #11 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | bạn chứng minh hộ mình với __________________ i'll try my best. |
29-08-2013, 11:16 PM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
Bài hình: a) Ký hiệu các điểm như hình vẽ. Lấy $L' $ thuộc $B'C' $ sao cho $JL'//BB'. $ Khi đó theo Định lý Ta-lét $KL'//CC'. $ Hệ quả là $L'=L $ hay trung điểm của $EF $ thuộc $B'C' $ cố định. b) Câu này có vẻ không đúng (hình vẽ). thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 29-08-2013 lúc 11:24 PM | |
The Following 3 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: |
30-08-2013, 07:31 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 11 Thanked 11 Times in 5 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to ikariam123 For This Useful Post: | thaygiaocht (30-08-2013) |
13-09-2013, 12:19 AM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | ikariam123 (15-09-2013) |
13-09-2013, 10:06 AM | #15 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Trích:
TH1. $f(0)=1 $. Thay $y=0 $ vào phương trình ta được: $f(x)+f(2x)+1=1+f(x)+f(x) $ hay $f(2x)=f(x) $ (1). Từ (1) và phương trình ban đầu ta được: $f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(xy)+f(x)+f(x+y) $ suy ra $f(x)f(y)+f(y)=f(xy)+f(x+y) $ (2). Thay $y=1 $ vào (2) ta được: $f(x)+1=f(x)+f(x+1) $ suy ra $f(x+1)=1 $ hay $f(x)=1 $ với mọi số thực $x $. Thử lại thấy thỏa mãn. TH2. $f(0)=0 $. Thay $y=0 $ vào phương trình ta được: $f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) $ (3). Từ (3) và phương trình ban đầu ta được: $2f(x)f(y)+f(x)+f(y)=2f(xy)+f(x+y) $ (4). Trong (4) ta thay $y=1 $ ta được: $f(x+1)=f(x)+1 $ (5) Trong (4) thay $x=y $ ta được: $f^2(x)=f(x^2) $ (6). Bằng quy nạp ta chỉ ra $f(n)=n $, n là số tự nhiên. Do đó trong (4) thay $x=m/n, y=n, m,n>0 $ ta được: $f\[\left( {\frac{m}{n}} \right) = \frac{m}{n}\] $ | |
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post: | ikariam123 (15-09-2013) |
Bookmarks |
|
|