Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 11-12 chuyên KHTN 2013-2014 (Vòng 2)

[linh1997]

Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 11-12 chuyên KHTN 2013-2014 (Vòng 2)

Ngày 1 : 19/10/2013
Câu 1 :
Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn : $a_1 = 3, a_2 = 17, a_3 = 99$ và :
$a_{n+1} = \frac{{a_n}^2 + a_{n-1}^2 - 1}{a{n-2}}$
CMR : $a_{2014} + 1$ là số chính phương
Câu 2:
Cho m, n nguyên dương , S = { 1, 2, ... , 2014 } . Tìm số tập con của S có m số chẵn, n số lẻ và không chứa 2 số liên tiếp.
Câu 3:
Bài 3: Cho tam giác ABC, tâm ngoại tiếp O.Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tai điểm D. P và Q là 2 điểm di chuyển trên đoạn AD sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$ Gọi R là hình chiếu của Q trên cạnh BC, d là đường thẳng qua R vuông góc với OP. Chứng minh rằng khi P,Q di chuyển trên AD thì các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng 10 điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Hồi bữa trước mình có đọc được cái đề bên VMF. Câu 2 nó chỉ yêu cầu chọn $m$ số chẵn, $n$ số lẻ với $m, n$ không âm bất kì mà không có 2 phần tử liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị, bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với việc cho trước $m,n >0$. Không rõ là đề bên nào đúng nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[linh1997]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Hồi bữa trước mình có đọc được cái đề bên VMF. Câu 2 nó chỉ yêu cầu chọn $m$ số chẵn, $n$ số lẻ với $m, n$ không âm bất kì mà không có 2 phần tử liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị, bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với việc cho trước $m,n >0$. Không rõ là đề bên nào đúng nữa.

thực sự thì mình nghĩ việc m, n không âm hay dương không quan trọng vì m, n cho trước ( trường hợp m, n không âm chứa trường hợp m, n nguyên dương)
ps: đây là bài toán tổng quát nên theo mình dù đề bài có cho điều kiện m,n như thế nào đi nữa thì kết quả theo m,n cũng như thế thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nếu theo đề trên thì kết quả bài toán sẽ là $F_{2016}-2^{1008}$ với $2^{1008}$ là số tập hợp con hoặc chỉ toàn số chẵn hoặc chỉ toàn số lẻ, $F_{2016}$ là số Fibonacci thứ 2016. Bài toán thực chất chỉ là tìm số tập con S của tập $A={1,2,...,2014}$ sao cho trong mỗi tập con S đó chứa ít nhất 1 số chẵn và 1 số lẻ. Ta chỉ cần tìm số tập con mà không chứa 2 số liên tiếp. Lấp được ctth $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ với $a_1=2$, $a_2=3$ ($a_n$ là số tập con thỏa ycđb). Từ đó dễ chứng minh được $a_n=F_{n+2}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[linh1997]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Nếu theo đề trên thì kết quả bài toán sẽ là $F_{2016}-2^{1008}$ với $2^{1008}$ là số tập hợp con hoặc chỉ toàn số chẵn hoặc chỉ toàn số lẻ, $F_{2016}$ là số Fibonacci thứ 2016. Bài toán thực chất chỉ là tìm số tập con S của tập $A={1,2,...,2014}$ sao cho trong mỗi tập con S đó chứa ít nhất 1 số chẵn và 1 số lẻ. Ta chỉ cần tìm số tập con mà không chứa 2 số liên tiếp. Lấp được ctth $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ với $a_1=2$, $a_2=3$ ($a_n$ là số tập con thỏa ycđb). Từ đó dễ chứng minh được $a_n=F_{n+2}$.

Đề bài cho trước m, n mà bạn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]