|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-01-2014, 11:26 AM | #1 |
Administrator | [VMO 2014] Bài 1 - Giải tích Bài 1. Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align} & {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\ & x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\ \end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$ Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | hochoi1323 (03-01-2014), liverpool29 (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014), thiendienduong (03-01-2014) |
03-01-2014, 11:34 AM | #2 | |
+Thành Viên+ | Trích:
Mình là một thằng ngu thay đổi nội dung bởi: hansongkyung, 03-01-2014 lúc 11:43 AM | |
The Following User Says Thank You to hansongkyung For This Useful Post: | High high (03-01-2014) |
03-01-2014, 11:41 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Bài gởi: 13 Thanks: 9 Thanked 12 Times in 7 Posts | Công thức tổng quát: $$x_{n} = 2sin\frac{\pi}{3.2^n}, y_{n}=2cos\frac{\pi}{3.2^n}$$ Từ đó suy ra $lim x_{n}=0, lim y_{n} =2$ thay đổi nội dung bởi: DogLover, 03-01-2014 lúc 11:44 AM |
03-01-2014, 11:42 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 81 Thanks: 23 Thanked 70 Times in 41 Posts | Bài này đặt $x_1=2sin \frac{\pi}{6}, y_1=2cos \frac{\pi}{6}$. Quy nạp ra được $x_n=2sin \frac{\pi}{3.2^n}, y_n=2cos \frac{\pi}{3.2^n}$. thay đổi nội dung bởi: 12121993, 03-01-2014 lúc 11:53 AM |
The Following User Says Thank You to 12121993 For This Useful Post: | thaygiaocht (03-01-2014) |
03-01-2014, 11:43 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Lộn rồi kìa $x_n<1$ __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. |
03-01-2014, 11:58 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Đến từ: hue Bài gởi: 348 Thanks: 425 Thanked 560 Times in 237 Posts | Chứng minh bằng quy nạp ta có $y_n=\sqrt{y_{n-1}+2}$, từ đây kết hợp với $y_n$ bị chặn trên bởi $2$ suy ra nó hội tụ và $limy_n=2$ từ đó suy ra $limx_n=0$ Có ai làm giống em không ạ? __________________ LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY "Don't try your best. Do your best." |
The Following User Says Thank You to liverpool29 For This Useful Post: | thaygiaocht (03-01-2014) |
03-01-2014, 12:18 PM | #7 |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Chứng minh $(x_n), (y_n)$ đơn điệu thế nào vậy các đồng chí |
03-01-2014, 12:21 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 149 Thanks: 26 Thanked 17 Times in 14 Posts | Vậy bài 1 LGH là đúng bài nhất ! |
03-01-2014, 12:26 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2013 Bài gởi: 24 Thanks: 0 Thanked 8 Times in 5 Posts | Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác |
The Following 2 Users Say Thank You to halamadrid For This Useful Post: | Kém Toán (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014) |
03-01-2014, 12:30 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Bài gởi: 5 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Mình tưởng 2 cái lim=1 |
03-01-2014, 01:19 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau: $x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1$. Quan sát $x_2$ thấy có $\sqrt{3}$, $2$ nên liên tưởng đến lượng giác:$x_2=\sqrt{2(1-\cos \dfrac{\pi}{6})}=2\sin \dfrac{\pi}{12}$. Như vậy viết lại $x_1=2\sin \dfrac{\pi}{6}$. Thay vào tính $x_3$ được $2-x_3^2=2\cos \dfrac{\pi}{12}$. Rút ra $x_3=2\sin \dfrac{\pi}{24}$. Từ đó phán đoán $P(n): x_n=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^n}$ là mệnh đề đúng với $n \in \mathbb{N}^{*}$.Ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng bằng quy nạp mạnh. Thật vậy: +) Rõ ràng $P(1), P(2)$ đúng. +) Giả sử $P(1); P(2);...;P(k+1)$ đúng ($k \in \mathbb{N}$). Ta sẽ chứng minh $P(k+2)$ đúng. Thật vậy, theo công thức tổng quát: $x_{k+1}(2-x_{k+2}^2)=x_k$. Suy ra$2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}(2-x_{k+2}^2)=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^k}$. Áp dụng công thức $\sin 2x= 2 \sin x \cos x$ ta có$2-x_{k+2}^2=2\cos \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}$. Chuyển vế áp dụng công thức $1-\cos 2x=2 \sin^2x$ ta có$x_{k+2}=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+2}}$ hay $P(k+2)$ đúng. Vậy $P(n)$ đúng, từ đó tìm được đáp số.Chú ý: Đề cho dãy dương nên các phép biến đổi trên mới đúng. __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 03-01-2014 lúc 02:04 PM | |
The Following 3 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: |
03-01-2014, 04:28 PM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$ $1=x_1>x_2>x_3>...$Có $(x_n)$ giảm rồi xét hiệu $y_{n+1}-y_n=x_{n+1}^2-x_{n+2}^2>0$ nên suy ra $(y_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $2$. __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 03-01-2014 lúc 04:34 PM | |
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post: | thaygiaocht (03-01-2014) |
03-01-2014, 04:38 PM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 149 Thanks: 26 Thanked 17 Times in 14 Posts | |
03-01-2014, 04:41 PM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Bài gởi: 5 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | $x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$ từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người |
03-01-2014, 05:02 PM | #15 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
Bài này lạ nhỉ Nhìn có vẻ giới hạn bằng 1 nhưng thực ra giới hạn lại bằng 0. Chưa bao giờ gặp trường hợp như vậy __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 03-01-2014 lúc 05:08 PM | |
Bookmarks |
|
|