Topic bất đẳng thức Cauchy_Schwarz

[mcprolatui]

Với $a,b,c > 0 $ CMR

$\frac{b^{3}}{a^{2}(a^{3} + 2b^{3})} + \frac{c^{3}}{b^{2}(b^{3} + 2c^{3})} + \frac{a^{3}}{c^{2}(c^{3} + 2a^{3})} \geq \frac{1}{3}(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phaituankhan19]

Cho $a,b,c>0 $ thỏa mãn $abc=1 $.
Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a}{b+3}} + \sqrt{\frac{b}{c+3}} + \sqrt{\frac{c}{a+3}} \ge \frac{3}{2} $

Cho $a,b,c>0 $ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc $.Chứng minh rằng:

$\[\frac{bc\sqrt{1+3{{a}^{2}}}}{b+3ca}+\frac{ca\sqrt{ 1+3{{b}^{2}}}}{c+3ab}+\frac{ab\sqrt{1+3{{c}^{2}}}} {a+3bc}\ge \frac{3}{2}\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[xtungftu]

Nguyên văn bởi mcprolatui

Với $a,b,c > 0 $ CMR

$\frac{b^{3}}{a^{2}(a^{3} + 2b^{3})} + \frac{c^{3}}{b^{2}(b^{3} + 2c^{3})} + \frac{a^{3}}{c^{2}(c^{3} + 2a^{3})} \geq \frac{1}{3}(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) $

biến đổi thành
$\frac{2b^{3}+a^3 -a^3}{a^{2}(a^{3} + 2b^{3})} + \frac{2c^{3}+b^3 -b^3}{b^{2}(b^{3} + 2c^{3})} + \frac{2a^{3}+c^3 -c^3}{c^{2}(c^{3} + 2a^{3})} \geq \frac{2}{3}(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{3} ( \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}) \ge \frac{a}{a^3 +2b^3} + \frac{b^3}{b^3 +2c^3} +\frac{c^3}{c^3 +2a^3} $
Đến đây lưu ý $ a^3 +2b^3 \ge 3ab^2 $

------------------------------

Nguyên văn bởi phaituankhan19

Bài 133: Cho $x,y,z>0 $ là các số thực tỏa mãn
$xy+yz+zx=3 $.Chứng minh rằng
$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge \frac{3}{2} $

Giả sử $ xy \ge 1 $
vận dụng BDT quen thuộc sau
$ \frac{1}{1 +x^2} +\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1 +xy} $
thì $A = \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge \frac{2}{1+xy} +\frac{1}{1+z^2} $ (*)
đặt $ z(x+y) = t \le 2 \Rightarrow z = \frac{t}{x+y} $ . Và $ x + y =2a $ Thế vào (*)
$ A \ge \frac{2}{1+xy} + \frac{(2a)^2}{t^2 +(2a)^2}= \frac{2}{1+xy} + \frac{4a^2}{4a^2 +(3-xy)^2} $
Xét hiệu $ \frac{2}{1+xy} + \frac{a^2}{a^2 +1} -\frac{3}{2}= \frac{4a^2 -(3-xy)^2}{2(4a^2 +(3-xy)^2} - \frac{xy-1}{xy+1} $
cần CM $ \frac{4a^2 -(3-xy)^2}{2(4a^2 +(3-xy)^2} \ge \frac{xy-1}{xy+1} $
Đặt $ 3-xy = 2c \le 2 $
$ \frac{4a^2 -4c^2}{2(4a^2 +4c^2} \ge \frac{2 -2c}{4-2c} \Leftrightarrow a^2 +2c^3 \ge 3c^2 \Leftrightarrow (a^2-1) + (c-1)^2(2c+1) \ge 0 $ Cái này đúng, ta có DPCM
Từ đó có DPCM

Minh đã sửa lại bài rồi đấy, cảm ơn bạn hieultv12

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daiduong1095]

Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:
$\frac{(4a+b-c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(4b+c-a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(4c+a-b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \ge 8 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khtoan]

Nguyên văn bởi daiduong1095

Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:
$\frac{(4a+b-c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(4b+c-a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(4c+a-b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \ge 8 $.

Sử dụng bdt C-S ta có đánh giá $(b+c)^2\leq 2(b^2+c^2) $

Từ đó có

$VT\geq \frac{\sum (4a+b-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{18(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq 8 $ ( hiển nhiên đúng )

Từ đó có đpcm.Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daiduong1095]

Có bài này khá hay mọi người làm cho vui!!!
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=1 $
Cmr: $\left(1+2(a+b+c) \right)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+ \frac{1}{1+c} \right) \le \frac{27}{4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khtoan]

Nguyên văn bởi daiduong1095

Có bài này khá hay mọi người làm cho vui!!!
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=1 $
Cmr: $\left(1+2(a+b+c) \right)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+ \frac{1}{1+c} \right) \le \frac{27}{4} $

Đặt $\frac{ab}{c}=x^2;\frac{bc}{a}=y^2;\frac{ca}{b}=z^2 $

Sau một vài biến đổi rồi lại thay $(x,y,z) \mapsto(a,b,c) $ ,ta cần đi chứng minh một bất đẳng thức thuần nhất:

$\sum \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab}\leq \frac{27}{4} $

Sử dụng C-S:

$\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}+\frac{(a+b)^2}{2a^2+2b^2}+ \frac{4c^2}{3c^2+ab}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+ab)} $

Làm thêm 2 cái tương tự rồi cộng vế theo vế ta chỉ cần đi chứng minh

$\sum \frac{c^2}{3c^2+ab}\leq \frac{3}{4} $

Điều này tương đương với
$
\sum \frac{ab}{3c^2+ab}\geq \frac{3}{4} $

Sử dụng bất đẳng thức C-S:

$\sum \frac{ab}{3c^2+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3abc(a+b+ c)}\geq \frac{3}{4} $ (Đúng )

Ta có đpcm .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi khaitang1234

Bài 9 Cho $x,y,z\in [-1;1] $và $x+y+z=0 $. Chứng minh:
$\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}} \geq 3 $

Hôm nay đọc mới thấy, không biết có bạn nào giải chưa!

Mình làm thế này.
Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki, ta có:

$\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}} \geq\sqrt{(\sum \sqrt{1+x})^{2}+(\sum x)^{2}}=\sqrt{3+2\sum \sqrt{(1+x)(1+y)}} \geq 3 $ (đpcm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi thiendienduong

Hôm nay đọc mới thấy, không biết có bạn nào giải chưa!

Mình làm thế này.
Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki, ta có:

$\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}} \geq\sqrt{(\sum \sqrt{1+x})^{2}+(\sum x)^{2}}=\sqrt{3+2\sum \sqrt{(1+x)(1+y)}} \geq 3 $ (đpcm).

Bất đẳng thức cuối liệu có đúng không bạn?

$\sqrt{3+2\sum \sqrt{(1+x)(1+y)}} \geq 3. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pexea12]

Nguyên văn bởi phaituankhan19

Cho $a,b,c>0 $ thỏa mãn $abc=1 $.
Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a}{b+3}} + \sqrt{\frac{b}{c+3}} + \sqrt{\frac{c}{a+3}} \ge \frac{3}{2} $

Ừm, không biết bài nay đã có ai giải chưa.


Vì $abc=1 $ nên đặt $a=\frac{x^2}{yz}, b=\frac{y^2}{zx}, c=\frac{z^2}{xy} $ ($x,y,z>0 $)

Do đó, $\sum \sqrt{\frac{a}{b+3}} = \sum \sqrt{\frac{x^3}{y(y^2+3xz)} $
$\ge \frac{(x+y+z)^2}{\sum \sqrt{xy(y^2+3xz)}}
\ge \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+3(xy +yz+zx))}} $ (1)

Đặt $t=x^2+y^2+z^2, u=xy+yz+zx $ ($t \ge u > 0 $)

Thay vào (1), ta sẽ chứng minh $\frac{t+2u}{\sqrt{u(t+3u)}} \ge \frac{3}{2} $
$\Leftrightarrow (t-u)(4t+11) \ge 0 $ (đúng)
Do đó được đpcm.
Dấu $= $ xảy ra khi $x=y=z $ $\Rightarrow a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hiep 123]

Chứng minh với $a,b,c>0 $ :

$\sum \dfrac{a}{b}\leq \sum \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoa dien duong]

Nguyên văn bởi hiep 123

Chứng minh với $a,b,c>0 $ :

$\sum \dfrac{a}{b}\leq \sum \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}} $

Hình như bình phương giải được bạn ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieubebu]

Nguyên văn bởi hoa dien duong

Hình như bình phương giải được bạn ạ

Đúng hướng rồi. Nhưng về sau phải dùng đến bất đẳng thức hoán vị. Không biết có bạn nào có lời giải chỉ sử dụng bất đẳng thức CS không.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanghaipro]

Cho $a,b,c $ là 3 số thực dương và $a+b+c = \frac{1}{2} $. Tìm $\max H=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}} + \sqrt{\frac{(a+c)(b+c)}{(a+c)(b+c)+a+b}} + \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{(a+b)(a+c)+b+c}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi hoanghaipro

Cho $a,b,c $ là 3 số thực dương và $a+b+c = \frac{1}{2} $. Tìm $\max H=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}} + \sqrt{\frac{(a+c)(b+c)}{(a+c)(b+c)+a+b}} + \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{(a+b)(a+c)+b+c}} $

+)Bài này mình làm như sau :

**Đặt $\begin{cases} x = b+a \\ y =b+c \\ z = c+a \end{cases} $
*Suy ra :
$H = \sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+ \sqrt{\frac{zx}{zx+y}} $
*) Do $x+y+z = 1 $ nên Ta có :
$\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} = \sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}} = \sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)} $
+)Ap dụng cô si Ta suy ra :
$\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} \le \frac{1}{2}.(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}) $ (1)
+)Tương tự cho 2 cái còn lại
Ta được $ \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} \le \frac{1}{2}.(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}) $ (2)
$ \sqrt{\frac{zx}{xz+y}} \le \frac{1}{2}.(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{z+y}) $ (3)
Cộng (1) ;(2) và (3) ta có $H \le \frac{3}{2} $
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3} $ hay $a = b = c = \frac{1}{6} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]