Giới hạn, vi phân, tích phân

TLCT · 15-12-2007, 09:36 AM

Tôi sẽ lấy lại loạt bài từ DDTH qua đây, mong có thể giúp một ít cho các bạn học sinh phổ thông.

Bài đầu tiên tôi xin nói về giới hạn.

1) Giới hạn là gì? Giới hạn là một thuật ngữ của toán học để chỉ về một khái niệm của dân gian rằng một dãy càng ngày càng tiến gần đến một số.

2) Lưu ý khi nói về giới hạn

Khi người ta viết $(1+f(x))^{g(x)}=(1+f(x))^{[1/f(x)]f(x)/g(x)} $.

Sử dụng công thức [tex][(27+2x)&^{1/3}-(9+x)^{1/2}]/x=[(27+2x)^{1/3}-3]/x+[3-(9+x)^{1/2}]/x[tex]

Tính từng giới hạn riêng biệt.
Trong bài này tôi trình bày những vấn đề về đạo hàm riêng, về vi phân toàn phần.

1) Đạo hàm riêng: Ta xét một hàm nhiều biến F(x,y,z). Đạo hàm riêng của F(x,y,z) theo biến x là đạo hàm của hàm một biến f(x)=F(x,y,z) khi y, z được coi như hằng số. Kí hiệu $\frac{\partial F}{\partial x} $.

Ví dụ: $F(x,y)=x^2+e^{xy}+y $ thì $\frac{\partial F}{\partial x} =2x+ye^{xy} $ còn $\frac{\partial F}{\partial y} =1+xe^{xy} $

2) Công thức vi phân toàn phần

$dF(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz $.

Công thức vi phân toàn phần dùng làm gì? Dùng để tính đạo hàm theo một biến t. Nếu x, y, z là các hàm phụ thuộc vào biến t thì

$dF(x,y,z)/dt=\frac{\partial F}{\partial x}dx/dt+\frac{\partial F}{\partial y}dy/dt+\frac{\partial F}{\partial z}dz/dt $.

Ví dụ: Nếu F(x,y,t)=x+y+t^2 thì
$\frac{\partial F}{\partial t} =2t $ bất kể x, y có phụ thuộc vào t hay không.

Nếu x, y không phụ thuộc t ta có
$dF/dt(x,y,t)=2t=\frac{\partial F}{\partial t} $.

Nhưng nếu $x(t)=e^{t}, y(t)=-t^2 $ thì $F(x,y,t)=e^t $. Do đó $F'(t)=e^{t} $. Ta cũng có thể dùng công thức vi phân toàn phần: Vì
$dF=dx+dy+2tdt $ nên $dF/dt=dx/dt+dy/dt+2t $.

3) Một số lưu ý về đạo hàm riêng:

Nếu F(x) là hàm một biến thì nếu F có đạo hàm tại một điểm ta có F liên tục tại điểm đó. Nhưng với hàm nhiều biến thì một hàm hai biến có thể có đạo hàm riêng nhưng không liên tục.

Đạo hàm riêng và đạo hàm là khác nhau, xem mục 2 ở trên.

4) Tính đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn.

Tôi sẽ không phát biểu những điều kiện để các hàm ngược hàm ẩn tồn tại. Chỉ trình bày phương pháp tính thôi.

VD1: Cho y là hàm số theo x thỏa $e^{x^2+xy+y^2}+e^{y}-e^{x}=1 $ và tại $x=0, y=0 $. Tính y'(0).

Giải: $F(x,y)=e^{x^2+xy+y^2}+e^{y}-e^{x}-1 $. Vì F=0 nên
theo công thức vi phân toàn phần ta có
$0=dF=(2x+y)e^{x^2+xy+y^2}dx+(2y+x)e^{x^2+xy+y^2}dy +e^{y}dy-e^{x}dx=0 $. Thay x=0,y=0 vào biểu thức này ta được
$0=dy-dx $. Vậy y'(0)=dy/dx=1.

VD2: Cho r,u là các hàm theo x,y thỏa x=rcos(u), y=rsin(u). Tính các đạo hàm riêng của r,u theo x,y tại các giá trị $r=1, u=\pi /4, x=y=\sqrt{2}/2 $.

Giải
Ta có $dx=cos(u)dr-rsin(u)du, dy=sin(u)dr+rcos(u)du $. Tại $r=1, u=\pi /4, x=y=\sqrt{2}/2 $ ta có
$dx=\sqrt{2}dr/2-r\sqrt{2}/2du, dy=\sqrt{2}dr/2+r\sqrt{2}/2du $. Giải ra ta được
$dr=\sqrt{2}(dx+dy),du=\sqrt{2}(dy-dx) $. Theo định nghĩa
$\frac{\partial r}{\partial x} $ được tính khi cho y là hằng số, bởi vậy dy=0, do đó $dr=\sqrt{2}dx $, do đó $\frac{\partial r}{\partial x}=\sqrt{2} $.

5) Đạo hàm riêng bậc cao:

Cho F(x,y) là một hàm hai biến. Giả sử F có đạo hàm riêng theo x. Đặt $df=-sin(u)du $.

Vậy
$x^2u"(x)+2xu'(x)-3u(x)=0 $. Bằng phép đổi biến $x=e^t $ hãy biểu diễn phương trình trên theo t.

Giải: Ta có $x=e^t $ nên $dx=e^tdt $, do đó $dt/dx=e^{-t} $.

Dùng công thức vi phân toàn phần:
$u'_x=u'_t.t'_x=u'_t.e^{-t} $. Do đó
$u"_{xx}=(u'_x)'_x=(u'_t.e^{-t})'_x=(u'_t.e^{-t})'_t.t'_x=(u"_{tt}e^{-t}-u'_te^{-t})e^{-t} $.

Thế vào phương trình đầu ta sẽ được phương trình theo t.

Bài tập đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn

1) Cho f=f(x,y). Hãy biểu diễn Laplace của f: $x=rcos(u),y=rsin(u) $.

2) Cho u, v là các hàm của ba biến x, y, z thỏa
$xu^2+yzv+x^2z-3=0, xyv^3+2zu-u^2v^2-2=0 $ thỏa x=y=z=1 thì u=v=1. Tính $\frac{\partial u}{\partial x} $ khi x=y=z=1.

hungnd · 19-12-2007, 11:30 AM

Nhân tiện em muốn hỏi một chút về cách giải các PT vi phân thường cấp 1 ;2 .Không biết có anh chị nào biết không

TLCT · 22-12-2007, 10:13 AM

hungnd: Phương trình vi phân thường nghĩa là hệ số hằng à?

Ý nghĩa của vi phân toàn phần: Ta sẽ xét chủ yếu trong trường hợp 2 biến và 3 biến. Tuy nhiên trong các trường hợp nhiều biến hơn những kết quả trình bày ở đây vẫn đúng. Tôi sẽ giả thiết hàm xác định trên toàn bộ không gian vì khái niệm tập mở đối với các bạn học phổ thông là khó khá hiểu.

a) Vi phân là sự xấp xỉ hiệu của giá trị hàm số tại hai điểm gần nhau:
Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Cho $(x_0,y_0,z_0) $ và $(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) $ (với dx, dy, dz khá nhỏ) là hai điểm trong $R^3 $. Vi phân toàn phần chính là xấp xỉ của hiệu giá trị của hàm tại hai điểm trên, nghĩa là
$(x_0,y_0,z_0) $ và $(x,y,z)=(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) $ thuộc mặt cong này. Theo công thức xấp xỉ ở phần a ở trên ta có (lưu ý rắng $F(x_0,y_0,z_0)=F(x,y,z)=0 $)
$(dx,dy,dz)=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) $. Khi $(x,y,z) $ khá gần với $(x_0,y_0,z_0) $ thì (dx,dy,dz) khá nhỏ và đặc trưng cho một vécto chỉ phương của mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong F tại điểm $(x_0,y_0,z_0) $ (Hãy nhớ lại cách định nghĩa của tiếp tuyến một đường cong như là giới hạn của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_0,y_0) $ và (x,y) khi (x,y) chạy trên đường cong đến $(x_0,y_0) $ ).

Như vậy ta suy ra phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm $(x_0,y_0,z_0) $ là
$x-x_0,y-y_0,z-z_0 $.

VD: Cho êlip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $. Tìm phương trình tiếp tuyến của êlip tại $(x_0,y_0) $ thuộc êlip.

Giải: Êlip là tập hợp các điểm (x,y) thỏa $F(x,y):=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 $. Tại điểm $(x_0,y_0) $ trên êlip ta có
$0=dF(x_0,y_0)=2\frac{x_0}{a^2}dx+2\frac{y_0}{b^2}d y $. Thay dx, dy bởi $x-x_0,y-y_0 $ ta được phương trình tiếp tuyến là
$2\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+2\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)=0 $ hay
$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2 }+\frac{y_0^2}{b^2}=1 $.

Bài tập:

1) Cho đường cong biểu diễn bởi $x^3+y^4=2xy $. Tìm phương trình tiếp tuyến tại (1,1).

2) Cho mặt cong biểu diễn bởi $x^3+y^4-z^5=2xy-yz $. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại (1,1,1).

Những vấn đề về những mặt cong và đường cong chính là những phần được nghiên cứu trong hình học vi phân.

TLCT · 22-12-2007, 10:20 AM

_Vi phân riêng phần có lẽ là vi phân theo một hướng cố định. Đạo hàm trái và phải có lẽ liên quan đến đạo hàm theo một hướng và định nghĩa phía nào là trái, phía nào là phải.

8) Đạo hàm theo hướng: Cho F(x,y,z) là một hàm số. Đạo hàm theo hướng u=(a,b,c) là được định nghĩa như sau:
$(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc) $ nằm trên đường thẳng đi qua $(x_0,y_0,z_0) $ với vécto chỉ phương (a,b,c). Đặc biệt ta thấy đạo hàm theo hướng Ox chính là đạo hàm riêng theo x : Cho hai vécto u=(a,b,c),v=(x,y,z) thì tích vô hướng của u và v là u.v=ax+by+cz.

Ta có công thức sau: Nếu u=(a,b,c) thì
$x=x_0+ta,y=y_0+tb,z=z_0+tc $, với $x_0,a,y_0,b,z_0,c $ là các hằng số ta có
$F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 $. Ta có $(2,2,-2).(1,2,3)=0 $.

10) Công thức Newton-Leipnitz: Chắc các bạn còn nhớ rằng nếu F(x) là hàm một biến khả vi liên tục thì ta có

Công thức Newton-Leipnitz
$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) $.

Trong trường hợp nhiều biến thì định lý Lagrange không còn đúng nhưng công thức Newton-Leibnitz vẫn đúng. Nếu u=(a,b,c) và v=(x,y,z) thì

$u-v=(a-x,b-y,c-z) $.

Từ công thức trên ta có kết quả sau: Cho $||u||=\sqrt{a^2+b^2+c^2} $. Thì $|F(u)-F(v)|\leq M ||u-v|| $.

TLCT · 31-12-2007, 01:31 PM

11) Cực trị hàm nhiều biến: Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Một điểm (a,b,c) gọi là cực đại địa phương nếu có một vùng nhỏ quanh điểm (a,b,c), trong vùng đó F(a,b,c) là lớn nhất. Ví dụ, chúng ta thường hay nói rằng một người nào đó có lương nhiều nhất trong công ty của anh ta. Như vậy anh ta là một cực đại địa phương của hàm số tiền lương. Tương tự ta định nghĩa cực tiểu địa phương. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.

a) Định lý Fermat: Ta nhớ rằng nếu F(x) đạt cực trị tại x=a thì F'(a)=0. Trong trường hợp nhiều biến ta có cùng một kết quả như vậy: Nếu F(x,y,z) đạt cực trị tại (a,b,c) thì $\frac{\partial F}{\partial x}(a,b,c)=\frac{\partial F}{\partial y}(a,b,c)=\frac{\partial F}{\partial z}(a,b,c)=0 $.

b) Phương pháp nhận tử hóa của Lagrange: Nếu các điểm x, y,z phụ thuộc vào k phương trình thì ta đưa thêm vào k biến, và không có ràng buộc. Chẳng hạn giả sử ta xem xét cực trị của $x^2+y^2+x^2 $ trên miền $x+y+z=1 $. Ta xem xét cực trỉ của hàm số sau $F(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t(x+y+z-1). $ Hệ phương trình mà một điểm cực trị của hàm này thỏa là
$0=\frac{\partila F}{\partial x}=2x+t $...

c) Mẹo nhỏ: Nếu xem xét cực trị trong đó các biến là $x\geq 0 $ thì ta có thể đặt $x=y^2 $ và do đó khử được ràng buộc.

d) Nếu miền ràng buộc được cho bởi những bất đẳng thức (thay vì những phương trình như trong trường hợp b) thì ta có thể xem xét như sau: Xét các điểm cực trị có thể trong phần trong (interior) của miền ràng buộc bằng quy tắc Lagrange, sau đó xem xét những điểm cực trị có thể trên biên của miền ràng buộc.

Bài tập:

Cho x,y,z thỏa $x+2y+3z+z^2=4 $. Tìm GTNN của $100x^2+200y^2-z^2 $.

15-12-2007, 09:36 AM	#1
TLCT +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tôi sẽ lấy lại loạt bài từ DDTH qua đây, mong có thể giúp một ít cho các bạn học sinh phổ thông. Bài đầu tiên tôi xin nói về giới hạn. 1) Giới hạn là gì? Giới hạn là một thuật ngữ của toán học để chỉ về một khái niệm của dân gian rằng một dãy càng ngày càng tiến gần đến một số. 2) Lưu ý khi nói về giới hạn Khi người ta viết $(1+f(x))^{g(x)}=(1+f(x))^{[1/f(x)]f(x)/g(x)} $. Sử dụng công thức [tex][(27+2x)&^{1/3}-(9+x)^{1/2}]/x=[(27+2x)^{1/3}-3]/x+[3-(9+x)^{1/2}]/x[tex] Tính từng giới hạn riêng biệt. Trong bài này tôi trình bày những vấn đề về đạo hàm riêng, về vi phân toàn phần. 1) Đạo hàm riêng: Ta xét một hàm nhiều biến F(x,y,z). Đạo hàm riêng của F(x,y,z) theo biến x là đạo hàm của hàm một biến f(x)=F(x,y,z) khi y, z được coi như hằng số. Kí hiệu $\frac{\partial F}{\partial x} $. Ví dụ: $F(x,y)=x^2+e^{xy}+y $ thì $\frac{\partial F}{\partial x} =2x+ye^{xy} $ còn $\frac{\partial F}{\partial y} =1+xe^{xy} $ 2) Công thức vi phân toàn phần $dF(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz $. Công thức vi phân toàn phần dùng làm gì? Dùng để tính đạo hàm theo một biến t. Nếu x, y, z là các hàm phụ thuộc vào biến t thì $dF(x,y,z)/dt=\frac{\partial F}{\partial x}dx/dt+\frac{\partial F}{\partial y}dy/dt+\frac{\partial F}{\partial z}dz/dt $. Ví dụ: Nếu F(x,y,t)=x+y+t^2 thì $\frac{\partial F}{\partial t} =2t $ bất kể x, y có phụ thuộc vào t hay không. Nếu x, y không phụ thuộc t ta có $dF/dt(x,y,t)=2t=\frac{\partial F}{\partial t} $. Nhưng nếu $x(t)=e^{t}, y(t)=-t^2 $ thì $F(x,y,t)=e^t $. Do đó $F'(t)=e^{t} $. Ta cũng có thể dùng công thức vi phân toàn phần: Vì $dF=dx+dy+2tdt $ nên $dF/dt=dx/dt+dy/dt+2t $. 3) Một số lưu ý về đạo hàm riêng: Nếu F(x) là hàm một biến thì nếu F có đạo hàm tại một điểm ta có F liên tục tại điểm đó. Nhưng với hàm nhiều biến thì một hàm hai biến có thể có đạo hàm riêng nhưng không liên tục. Đạo hàm riêng và đạo hàm là khác nhau, xem mục 2 ở trên. 4) Tính đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn. Tôi sẽ không phát biểu những điều kiện để các hàm ngược hàm ẩn tồn tại. Chỉ trình bày phương pháp tính thôi. VD1: Cho y là hàm số theo x thỏa $e^{x^2+xy+y^2}+e^{y}-e^{x}=1 $ và tại $x=0, y=0 $. Tính y'(0). Giải: $F(x,y)=e^{x^2+xy+y^2}+e^{y}-e^{x}-1 $. Vì F=0 nên theo công thức vi phân toàn phần ta có $0=dF=(2x+y)e^{x^2+xy+y^2}dx+(2y+x)e^{x^2+xy+y^2}dy +e^{y}dy-e^{x}dx=0 $. Thay x=0,y=0 vào biểu thức này ta được $0=dy-dx $. Vậy y'(0)=dy/dx=1. VD2: Cho r,u là các hàm theo x,y thỏa x=rcos(u), y=rsin(u). Tính các đạo hàm riêng của r,u theo x,y tại các giá trị $r=1, u=\pi /4, x=y=\sqrt{2}/2 $. Giải Ta có $dx=cos(u)dr-rsin(u)du, dy=sin(u)dr+rcos(u)du $. Tại $r=1, u=\pi /4, x=y=\sqrt{2}/2 $ ta có $dx=\sqrt{2}dr/2-r\sqrt{2}/2du, dy=\sqrt{2}dr/2+r\sqrt{2}/2du $. Giải ra ta được $dr=\sqrt{2}(dx+dy),du=\sqrt{2}(dy-dx) $. Theo định nghĩa $\frac{\partial r}{\partial x} $ được tính khi cho y là hằng số, bởi vậy dy=0, do đó $dr=\sqrt{2}dx $, do đó $\frac{\partial r}{\partial x}=\sqrt{2} $. 5) Đạo hàm riêng bậc cao: Cho F(x,y) là một hàm hai biến. Giả sử F có đạo hàm riêng theo x. Đặt $df=-sin(u)du $. Vậy $x^2u"(x)+2xu'(x)-3u(x)=0 $. Bằng phép đổi biến $x=e^t $ hãy biểu diễn phương trình trên theo t. Giải: Ta có $x=e^t $ nên $dx=e^tdt $, do đó $dt/dx=e^{-t} $. Dùng công thức vi phân toàn phần: $u'_x=u'_t.t'_x=u'_t.e^{-t} $. Do đó $u"_{xx}=(u'_x)'_x=(u'_t.e^{-t})'_x=(u'_t.e^{-t})'_t.t'_x=(u"_{tt}e^{-t}-u'_te^{-t})e^{-t} $. Thế vào phương trình đầu ta sẽ được phương trình theo t. Bài tập đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn 1) Cho f=f(x,y). Hãy biểu diễn Laplace của f: $x=rcos(u),y=rsin(u) $. 2) Cho u, v là các hàm của ba biến x, y, z thỏa $xu^2+yzv+x^2z-3=0, xyv^3+2zu-u^2v^2-2=0 $ thỏa x=y=z=1 thì u=v=1. Tính $\frac{\partial u}{\partial x} $ khi x=y=z=1.

19-12-2007, 11:30 AM	#2
hungnd +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Nhân tiện em muốn hỏi một chút về cách giải các PT vi phân thường cấp 1 ;2 .Không biết có anh chị nào biết không

22-12-2007, 10:13 AM	#3
TLCT +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	hungnd: Phương trình vi phân thường nghĩa là hệ số hằng à? Ý nghĩa của vi phân toàn phần: Ta sẽ xét chủ yếu trong trường hợp 2 biến và 3 biến. Tuy nhiên trong các trường hợp nhiều biến hơn những kết quả trình bày ở đây vẫn đúng. Tôi sẽ giả thiết hàm xác định trên toàn bộ không gian vì khái niệm tập mở đối với các bạn học phổ thông là khó khá hiểu. a) Vi phân là sự xấp xỉ hiệu của giá trị hàm số tại hai điểm gần nhau: Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Cho $(x_0,y_0,z_0) $ và $(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) $ (với dx, dy, dz khá nhỏ) là hai điểm trong $R^3 $. Vi phân toàn phần chính là xấp xỉ của hiệu giá trị của hàm tại hai điểm trên, nghĩa là $(x_0,y_0,z_0) $ và $(x,y,z)=(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) $ thuộc mặt cong này. Theo công thức xấp xỉ ở phần a ở trên ta có (lưu ý rắng $F(x_0,y_0,z_0)=F(x,y,z)=0 $) $(dx,dy,dz)=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) $. Khi $(x,y,z) $ khá gần với $(x_0,y_0,z_0) $ thì (dx,dy,dz) khá nhỏ và đặc trưng cho một vécto chỉ phương của mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong F tại điểm $(x_0,y_0,z_0) $ (Hãy nhớ lại cách định nghĩa của tiếp tuyến một đường cong như là giới hạn của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_0,y_0) $ và (x,y) khi (x,y) chạy trên đường cong đến $(x_0,y_0) $ ). Như vậy ta suy ra phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm $(x_0,y_0,z_0) $ là $x-x_0,y-y_0,z-z_0 $. VD: Cho êlip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $. Tìm phương trình tiếp tuyến của êlip tại $(x_0,y_0) $ thuộc êlip. Giải: Êlip là tập hợp các điểm (x,y) thỏa $F(x,y):=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 $. Tại điểm $(x_0,y_0) $ trên êlip ta có $0=dF(x_0,y_0)=2\frac{x_0}{a^2}dx+2\frac{y_0}{b^2}d y $. Thay dx, dy bởi $x-x_0,y-y_0 $ ta được phương trình tiếp tuyến là $2\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+2\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)=0 $ hay $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2 }+\frac{y_0^2}{b^2}=1 $. Bài tập: 1) Cho đường cong biểu diễn bởi $x^3+y^4=2xy $. Tìm phương trình tiếp tuyến tại (1,1). 2) Cho mặt cong biểu diễn bởi $x^3+y^4-z^5=2xy-yz $. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại (1,1,1). Những vấn đề về những mặt cong và đường cong chính là những phần được nghiên cứu trong hình học vi phân.

22-12-2007, 10:20 AM	#4
TLCT +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	_Vi phân riêng phần có lẽ là vi phân theo một hướng cố định. Đạo hàm trái và phải có lẽ liên quan đến đạo hàm theo một hướng và định nghĩa phía nào là trái, phía nào là phải. 8) Đạo hàm theo hướng: Cho F(x,y,z) là một hàm số. Đạo hàm theo hướng u=(a,b,c) là được định nghĩa như sau: $(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc) $ nằm trên đường thẳng đi qua $(x_0,y_0,z_0) $ với vécto chỉ phương (a,b,c). Đặc biệt ta thấy đạo hàm theo hướng Ox chính là đạo hàm riêng theo x : Cho hai vécto u=(a,b,c),v=(x,y,z) thì tích vô hướng của u và v là u.v=ax+by+cz. Ta có công thức sau: Nếu u=(a,b,c) thì $x=x_0+ta,y=y_0+tb,z=z_0+tc $, với $x_0,a,y_0,b,z_0,c $ là các hằng số ta có $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 $. Ta có $(2,2,-2).(1,2,3)=0 $. 10) Công thức Newton-Leipnitz: Chắc các bạn còn nhớ rằng nếu F(x) là hàm một biến khả vi liên tục thì ta có Công thức Newton-Leipnitz $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) $. Trong trường hợp nhiều biến thì định lý Lagrange không còn đúng nhưng công thức Newton-Leibnitz vẫn đúng. Nếu u=(a,b,c) và v=(x,y,z) thì $u-v=(a-x,b-y,c-z) $. Từ công thức trên ta có kết quả sau: Cho $\|\|u\|\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} $. Thì $\|F(u)-F(v)\|\leq M \|\|u-v\|\| $.

31-12-2007, 01:31 PM	#5
TLCT +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	11) Cực trị hàm nhiều biến: Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Một điểm (a,b,c) gọi là cực đại địa phương nếu có một vùng nhỏ quanh điểm (a,b,c), trong vùng đó F(a,b,c) là lớn nhất. Ví dụ, chúng ta thường hay nói rằng một người nào đó có lương nhiều nhất trong công ty của anh ta. Như vậy anh ta là một cực đại địa phương của hàm số tiền lương. Tương tự ta định nghĩa cực tiểu địa phương. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị. a) Định lý Fermat: Ta nhớ rằng nếu F(x) đạt cực trị tại x=a thì F'(a)=0. Trong trường hợp nhiều biến ta có cùng một kết quả như vậy: Nếu F(x,y,z) đạt cực trị tại (a,b,c) thì $\frac{\partial F}{\partial x}(a,b,c)=\frac{\partial F}{\partial y}(a,b,c)=\frac{\partial F}{\partial z}(a,b,c)=0 $. b) Phương pháp nhận tử hóa của Lagrange: Nếu các điểm x, y,z phụ thuộc vào k phương trình thì ta đưa thêm vào k biến, và không có ràng buộc. Chẳng hạn giả sử ta xem xét cực trị của $x^2+y^2+x^2 $ trên miền $x+y+z=1 $. Ta xem xét cực trỉ của hàm số sau $F(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t(x+y+z-1). $ Hệ phương trình mà một điểm cực trị của hàm này thỏa là $0=\frac{\partila F}{\partial x}=2x+t $... c) Mẹo nhỏ: Nếu xem xét cực trị trong đó các biến là $x\geq 0 $ thì ta có thể đặt $x=y^2 $ và do đó khử được ràng buộc. d) Nếu miền ràng buộc được cho bởi những bất đẳng thức (thay vì những phương trình như trong trường hợp b) thì ta có thể xem xét như sau: Xét các điểm cực trị có thể trong phần trong (interior) của miền ràng buộc bằng quy tắc Lagrange, sau đó xem xét những điểm cực trị có thể trên biên của miền ràng buộc. Bài tập: Cho x,y,z thỏa $x+2y+3z+z^2=4 $. Tìm GTNN của $100x^2+200y^2-z^2 $.