Đề chọn đội tuyển TP.HCM (ngày 1)

[tranhongviet]

Đề ngày 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TP.HCM NGÀY 1

Bài 1:
Giải hệ phương trình $$\begin{cases} xy + 6y\sqrt{x-1} + 12y = 4 \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y} = \frac{2\sqrt x}{\sqrt x + \sqrt y} \end{cases}$$

Bài 2:
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $$x_1 = 1; \ x_2 = 2014; \ x_{n+2} = \sqrt[3]{x_{n+1}^2x_n}.$$

Bài 3:
Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên đoạn $[-1;1]$ và $f(-1) = f(1) = 3$.
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc $(-1;1)$:
$$f(x)(x-2014) - 2014x f'(x) = x^2 - 4025x - 6043.$$

Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB < AC$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tâm $K$ đi qua $B$ và $C$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $A$ và $M$. Chứng minh $AM \bot MK$.

Bài 5: Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2f(x)+y) = x + f( 2f(y) - x) \ \forall x, y \in \mathbb{R}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dungxa22111994]

Bất ngờ thật , bài 3 là 1 bài ứng dụng của định lý Roll thường thấy trong các đề thi olympic toán sinh viên .Mình nghĩ nếu các bạn chưa biết những kĩ thuật để dùng khi xử lí những bài kiểu này thì thật khó cho các bạn.
------------------------------
Bài3 : Ta có :
f(x).(x-2014) -2014.x.f'(x)=x^2 - 4025x -6043
<=> f(x).x - x^2 - 3x +1 - 2014(f(x) +x.f'(x) - 2x -3 ) =0 (1)
đặt h(x)= f(x).x - x^2 - 3x +1 thì h'(x)=f(x) +x.f'(x) - 2x -3
khi đó (1) <=> h(x) - 2014.h'(x) =0 , ta cần chứng minh phương trình này có nghiệm
(-1/2014) .x
Xét hàm số q(x) =h(x).e
ta có q(-1)= q(1) =0 nên theo định lý roll thì tồn tại c thuộc (-1,1) sao cho q'(c)=0 , từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
------------------------------
Bài phương trình hàm mình sử dụng tính toàn ánh để giải và có đáp số là
f(x)= (x+C ) /2 với C là hằng số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Sao mình tìm mãi mà không thấy ngày 2 nhỉ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tmp]

Chưa thi ngay 2 mà!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dungxa22111994]

Có bạn nào làm ra bài 1 chưa ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoathuy21990]

Bài giải hệ pt dùng bất đẳng thức ta chứng minh được phương trình số 2 của hệ dấu = xảy ra khi xy=1.Giải hệ được (10,1/10) và(2,1/2) là nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[aoe]

Đề hay thế.
Có đề ngày thi thứ 2 chưa bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]