Tính xác suất để A thắng

[TrauBo]

A và B chơi một trò chơi với xúc sắc như sau. A gieo xúc sắc đầu tiên, sau đó đến lượt B. Nếu B gieo ra đúng số A đã gieo trước đó thì B thắng. Nếu không thì đến lượt A gieo xúc sắc. Nếu A gieo ra đúng số B gieo trước đó thì A thắng. Nếu không thì đến lượt B. Trò chơi cứ tiếp tục đến khi có người gieo ra số mà người trước đã gieo thì thắng.

Tính xác suất để A thắng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Fool's theorem]

Xác suất để $A$ thắng ở lượt thứ $3$ là : $\frac{5}{6}.\frac{1}{6}$ ($\frac{5}{6}$ là xác suất để $B$ không gieo ra số của $A$, và $\frac{1}{6}$ là xác suất để $A$ gieo ra đúng số của $B$)
Tương tự, xác suất để $A$ thắng ở lượt thứ $5$ là: $\left ( \frac{5}{6} \right )^3.\frac{1}{6}$
....
Xác suất để $A$ thắng ở lượt thứ $2k+1$ là $\left ( \frac{5}{6} \right )^{2k-1}.\frac{1}{6}$
....

Xác suất để A thắng sẽ bằng tổng tất cả các xác suất trên, tức là bằng $\sum_{i=0}^{\infty }\left ( \frac{5}{6} \right )^{2i+1}.\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.\frac{5}{6}\sum_{ i=0}^{\infty} \left (\frac{5}{6} \right )^{2i}=\frac{5}{36}.\frac{1}{1-\left ( \frac{5}{6} \right )^2}=\frac{5}{11}$
(Với $x <1$ thì $\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x}$)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Có cách khác như sau:

Gọi $a,b $ lần lượt là xác suất để $A$ thắng và $B$ thắng, suy ra $a+b=1$.
Xác suất để A thắng sẽ là tích của xác suất A không thua trong 2 lượt đầu và xác suất A thắng trong mỗi lượt sau đó.
Xác suất A không thua trong 2 lượt đầu là $\dfrac{5}{6}$.
Xác suất A thắng trong mỗi lượt sau đó là $b$ (vì sau 2 lượt đầu thì $A,B$ bình đẳng).
Suy ra $a=\dfrac{5}{6}b$.
Kết hợp $a+b=1$ suy ra $a=\dfrac{5}{11}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]