Vấn đề phương trình đa thức tổng quát

[Highschoolmath]

Cho trước đa thức $P(x) $, hãy tìm tất cả các đa thức $f(x) $ thõa mãn điều kiện:
$P(f(x))=f(P(x)) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dep_kom_n]

Thực ra em cũng không hiểu mấy về đa thức giao hoán nhưng em đã tưng đọc một lần ở đâu đó rằng 2 đa thức giao hoán chỉ cùng nằm với nhau trong một trong 5 loại :

LOAI1: Q(x) là đa thức bậc k bất kì xét dãy đa thức :
$ x, Q(x) ,Q(Q(x)), ...Q_{i}(x) $ ,....
khi đó hai đa thức bất kì trong dãy giao hoán với nhau

LOẠI 2ãy đa thức $x,x^{2} $,$x^{3} $,....
khi đó hai đa thức bất kì trong dãy giao hoán với nhau

LOẠI 3:đa thức chebysev xác định bởi; công thức truy hồi
$P_{1}(x)=x $ ;$P_{2}(x)= $$x^{2} $ -2
$P_{m+2} $(x) =$xP_{m+1}(x) $ -$P_{m}(x) $
cái này cm dễ dàng bằng cách đặt x= $ t + t^{-1} $
khi ấy hai đa thức trong dãy cũng giao hoán với nhau

LOẠI 4:trường hợp VMO1998 tổng quát
$P_{k} $($ t - t^{-1} $) =$ t ^{k}+ t^{-k} $

LOAI 5:Đa thức hệ số phức tốt nhất không nên nhắc tới vì từ hồi đọc đén bây giờ vẫn chưa hiểu số phức là gì

biết kết quả vậy thôi chứ bắt cm là chết liền
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Mình không học chuyên sâu về toán nên cũng không hiểu rõ đa thức giao hoán là gì cả .Về bài toán này, mình chỉ xin thử đề xuất cách giải như sau:
Từ đẳng thức ta rút ra $P(f(x))-P(x)=f(P(x))-P(x) $
Hiển nhiên thì $(P(f(x))-P(x))\vdots (f(x)-x) $
$\Rightarrow P(f(x))-P(x)=(f(x)-x)Q(x)=f(P(x))-P(x)(*) $.Gọi $x_0 $ là một nghiệm phức bất kỳ của đa thức $f(x)-x $, thay vào $(*) $ ta rút ra $f(P(x_0))=P(x_0) $, điều này chứng tỏ $x_1=P(x_0) $ cũng là nghiệm của $f(x)-x $, cứ như vậy, ta có thể xây dựng dãy nghiệm vô hạn kiểu $x_{n+1}=P(x_n) $ của $f(x)-x $ (Vô lý), điều vô lý này chứng tỏ $|x_0|=|P(x_0)| $(Ở đây ta hiểu ký hiệu trị tuyệt đối chính là modun).Phương trình modun $|x_0|=|P(x_0)| $ là hoàn toàn giải được vì $P $ đã biết, tức là ta sẽ tìm được tất cả các nghiệm $x_0 $ của $f(x)-x $, từ đó ta có thể dễ dàng suy ra $f(x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dep_kom_n]

Thứ nhất em chẳng hiểu gì về số phức cả .

Thứ hai nếu $x_{1}=x_{0} $ thì sao nhỉ hoàn toàn có thể mà bởi vì $x_{0} $ ta chỉ gọi nó là nghiệm của f(x)-x thui mà làm sao khẳng định được P($x_{0} $ ) đã không bằng $x_{0} $

Thứ ba ,đa thức giao hoán chỉ là cái tên thui anh ạ, nếu như P(Q(x))=Q(P(x)) thì hai đa thức đó giao hoán chỉ vậy thui ,dạng bài về các ptr hàm đa thức dạng này cũng có vô khối ví dụ như VMO 1998 tổng quát vậy

có nên lập topic về các bài dạng này không nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Em cứ đọc kỹ lý luận của anh đi, các trường hợp anh nêu ra đều đã được xét rồi đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dep_kom_n]

không ý em bảo là nhỡ đến một lúc nào đó$x_{n} $ mới thỏa mãn cái điều kiện P($x_{n} $ )=$x_{n} $ thì sao nhỉ ,hoàn toàn có thể nhỉ ,$x_{0} $ khác $x_{1} $ ;
$x_{1} $ khác $x_{2} $ cứ như thế đâu khẳng định được rằng dãy vô hạn còn nếu tìm $x_{n} $ thoả mãn thì tìm đến bao giờ

thui em lấy thử một ví dụ nhé P(x)=$x^{2} $ -2
f(x)=$x^{3}-3x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]