5 đường thẳng đồng quy(own)

[nbkschool]

Bài này tính gửi cho tạp chí MathVN nhưng thấy lời giải của mình xấu quá nên...thôi vậy.
Cho tam giác $ABC $.$M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB $.$G,I' $ là trọng tâm và tâm nội tiếp của tam giác $MNP $.$D',E',F' $ lần lượt là tiếp điểm của $(I') $ với $NP,PM,MN $.$P $ là điểm Nagel của tam giác $ABC $.$Q $ là giao điểm của $AM $ và $EF $.
Chứng minh rằng:$BF',CE',D'G,PQ $ và phân giác góc $\angle{BAC} $ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyen Van Linh]

Kết quả quen thuộc:$I, G, I', L $ thẳng hàng, $\frac{GI}{GL}=\frac{1}{2} $ và $I' $ là trung điểm $IL $ ($L $ là điểm Nagel)
+Trước hết ta c/m $AI, D'G, LQ $ đồng quy tại $S $.
Gọi $AI\cap LQ=\{S\} $
$D', G, S $ thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{SI}{SA}.\frac{D'A}{D'L}.\frac{GL}{GI}=1 \Leftrightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{D'L}{2D'A} (1) $
Mặt khác $\frac{SI}{SA}.\frac{QA}{QG}.\frac{LG}{LI}=1 $
$\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{2}.\frac{QG}{QA} (2) $
$\frac{QG}{QA}.\frac{D'A}{D'L}.\frac{I'L}{I'G}=1 \Rightarrow \frac{QG}{QA}=\frac{D'L}{3D'A} (3) $
Từ $(2) $ và $(3) $ suy ra $(1) $ đúng.
+C/m $BF', CE', LQ $ đồng quy.
Ta có $AM $ đi qua trung điểm của $PN $ do đó $M(BXPN)=-1 \Rightarrow (TQE'F')=-1 $
$\Rightarrow BF', CE', LQ $ đồng quy tại $S' $.
$\Rightarrow (LS'QR)=-1 $
Mặt khác $(II'GL)=-1 \Rightarrow S'\equiv S $.
Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]