Ánh xạ tuyến tính liên tục

MathForLife · 21-04-2015, 01:45 PM

Cho $q,p,r$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u)=ug$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$ và $||T||=||g||_{q}$

123456 · 21-04-2015, 08:02 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Cho $q,p,r$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u)=ug$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$ và $||T||=||g||_{q}$

Dùng bất đẳng thức Holder cho $p/r$ và $q/r$ ta được
$$\int |Tu|^r dx = \int |u|^r |g|^r dx \leq \left(\int |u|^p dx\right)^{\frac rp}\, \left(\int |g|^q dx\right)^{\frac rq} = \| u\|_p^r \|g\|_q^ r < \infty.$$
Do đó $Tu \in L^r$ và $\|Tu\|_r \leq \|g\|_q \|u^\|_p.$

Dễ kiểm tra $T$ là toán tử tuyến tính nên $T\in L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$. Và từ bất đẳng thức ở trên suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$.

Xét hàm $u(x) = g(x) |g(x)|^{\frac qp -1}$ nếu $g(x) \not =0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) = 0$. Khi đó
$$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$
Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$.

MathForLife · 21-04-2015, 09:25 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

Dùng bất đẳng thức Holder cho $p/r$ và $q/r$ ta được
$$\int |Tu|^r dx = \int |u|^r |g|^r dx \leq \left(\int |u|^p dx\right)^{\frac rp}\, \left(\int |g|^q dx\right)^{\frac rq} = \| u\|_p^r \|g\|_q^ r < \infty.$$
Do đó $Tu \in L^r$ và $\|Tu\|_r \leq \|g\|_q \|u^\|_p.$

Dễ kiểm tra $T$ là toán tử tuyến tính nên $T\in L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$. Và từ bất đẳng thức ở trên suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$.

Xét hàm $u(x) = g(x) |g(x)|^{\frac qp -1}$ nếu $g(x) \not =0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) = 0$. Khi đó
$$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$
Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$.

Em muốn hỏi anh tại sao :
$$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$
Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$.
------------------------------
Tiện em cũng có 1 bài khá tương tự như thế nhưng $L^r(R^n)$ thay bằng $R$ thì để chứng minh Tu liên tục thì $||Tu||$ sẽ được tính như thế nào anh đề bài khong hề nói?

123456 · 22-04-2015, 12:01 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Em muốn hỏi anh tại sao :
$$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$
Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$.
------------------------------

$$\|T\| = \sup_{v\not=0} \frac{\|Tv\|_r}{\|v\|_p} \geq \frac{\|Tu\|_r}{\|u\|_p} = \|g\|_q,$$
với $u$ là hàm được chọn ở trên. Do $\|T\| \leq \|g\|_q$ (đã chứng minh). Từ đó suy ra $\|T\| = \|g\|_q$.

Về câu hỏi sau của bạn thì bạn nên viết rõ ràng đề bài ra

MathForLife · 22-04-2015, 12:26 AM

Cho $q,p,$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $1=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u(t))=\int_{R^{n}}u(t)g(t)dt$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),R)$ và $||T||=||g||_{q}$
Đây anh!

123456 · 22-04-2015, 03:37 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Cho $q,p,$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $1=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u(t))=\int_{R^{n}}u(t)g(t)dt$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),R)$ và $||T||=||g||_{q}$
Đây anh!

Bài này làm như trước thôi. Vì $Tu$ là số thực nên $\|Tu\|$ chính là $|Tu|$.
Dùng bất đẳng thức Holder sẽ suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại thì bạn chọn hàm $u(x) = g(x) |g(x)|$ nếu $g(x)\not=0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) =0$.

MathForLife · 22-04-2015, 06:13 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

Bài này làm như trước thôi. Vì $Tu$ là số thực nên $\|Tu\|$ chính là $|Tu|$.
Dùng bất đẳng thức Holder sẽ suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại thì bạn chọn hàm $u(x) = g(x) |g(x)|$ nếu $g(x)\not=0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) =0$.

Em biết anh nhưng em thắc mắc là ở trong R thì nó sẽ là $|Tu|$ hay là $sup |Tu|$

123456 · 22-04-2015, 06:56 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Em biết anh nhưng em thắc mắc là ở trong R thì nó sẽ là $|Tu|$ hay là $sup |Tu|$

$Tu$ là một số, không phải là hàm số thì sao phải lấy $\sup$?

MathForLife · 23-04-2015, 12:50 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

$Tu$ là một số, không phải là hàm số thì sao phải lấy $\sup$?

Cái chỗ này hình như em chưa thông suốt

. Để chứng minh $T$ liên tục thì chứng minh khi $||u_n-u||<\delta$ có $||T(u_n)-T(u)||<\epsilon$
Cái $Tu$ đó em hình dung nó là $1$ tuyến tính của hàm $u$ tức là nó vẫn chưa là số anh ạ

. Tức ý em là để chứng minh $Tu$ thuộc $L^{r}(R^n)$ thì chuẩn $||T(u(t))||$ như anh nói là $1$ số còn chứng minh nó liên tục thì nó phải là sup. Thực ra mấy cái chỗ này em chưa được dạy. Có gì anh chỉ hộ em

123456 · 23-04-2015, 09:45 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Cái chỗ này hình như em chưa thông suốt

. Để chứng minh $T$ liên tục thì chứng minh khi $||u_n-u||<\delta$ có $||T(u_n)-T(u)||<\epsilon$
Cái $Tu$ đó em hình dung nó là $1$ tuyến tính của hàm $u$ tức là nó vẫn chưa là số anh ạ

. Tức ý em là để chứng minh $Tu$ thuộc $L^{r}(R^n)$ thì chuẩn $||T(u(t))||$ như anh nói là $1$ số còn chứng minh nó liên tục thì nó phải là sup. Thực ra mấy cái chỗ này em chưa được dạy. Có gì anh chỉ hộ em

Với ánh xạ tuyến tính $T: X \to Y$ giữa các không gian định chuẩn $X,Y$ thì tính liên tục tương đương với tính bị chặn nên không cần dùng ngôn ngữ $\epsilon - \delta$ để chứng minh liên tục, chỉ cần chỉ ra $\|Tx\|_Y \leq C \| x\|_X$ là đủ.

Quay lại với bài toán của bạn thì ánh xạ $T$ của bạn định nghĩa bởi
$$T(u(t)) = \int_{\mathbf{R}^n} u(t) g(t) dt.$$
Bạn để ý kĩ là cái $T(u(t))$ không phụ thuộc vào $t$ (vì tích phân vế phải là 1 số), có thể cách viết $T(u(t))$ làm bạn hiểu nhầm nó phụ thuộc vào $t$ và là một hàm số.

Ps: Mình chỉ giải thích được đến đây thôi, nếu bạn chưa hiểu rõ có thể hỏi thêm ai đó có kỹ năng sư phạm tốt hơn mình sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn.

MathForLife · 07-06-2015, 09:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 123456

$$\|T\| = \sup_{v\not=0} \frac{\|Tv\|_r}{\|v\|_p} \geq \frac{\|Tu\|_r}{\|u\|_p} = \|g\|_q,$$
với $u$ là hàm được chọn ở trên. Do $\|T\| \leq \|g\|_q$ (đã chứng minh). Từ đó suy ra $\|T\| = \|g\|_q$.

Về câu hỏi sau của bạn thì bạn nên viết rõ ràng đề bài ra

Sau khi chọn u thì làm sao tính được ra $$\frac{\|Tu\|_r}{\|u\|_p} = \|g\|_q$$ hả anh?

99 · 08-06-2015, 12:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Sau khi chọn u thì làm sao tính được ra $$\frac{\|Tu\|_r}{\|u\|_p} = \|g\|_q$$ hả anh?

Vì chú đề nghị anh trả lời nên anh mới hỏi lại chú, chứ anh thấy mọi thứ sáng sủa rõ ràng rồi, và có lẽ chú mắc cái tật ôm đồm, không làm chi tiết. Câu hỏi của anh:

Thế công thức cụ thể của $u$ là gì? Khi có công thức thì mới biết cần phải tính cái gì.

MathForLife · 08-06-2015, 01:25 AM

Em có viết công thức ra và nhân lại nó không bằng nên em mới hỏi anh ạ chứ tới đó thì tự làm được rồi ạ! Chẳng là vì em ngu chứ k phải vì cái lí do kia anh! Bởi bản thân em có làm cũng làm như anh 12345 thôi anh!

99 · 08-06-2015, 05:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Em có viết công thức ra và nhân lại nó không bằng nên em mới hỏi anh ạ chứ tới đó thì tự làm được rồi ạ! Chẳng là vì em ngu chứ k phải vì cái lí do kia anh! Bởi bản thân em có làm cũng làm như anh 12345 thôi anh!

Thì anh yêu cầu chú viết cụ thể lại công thức của chú ra, để anh xem vì sao nó không bằng. Câu hỏi của chú, trả lời của anh 123456, thì liên quan đếch gì tới anh mà chú đòi anh phải đọc hết cả topic?

Chú muốn anh giúp, thì chú viết cụ thể cái công thức chú đang tính toán là gì, để anh nhòm xem có vấn đề gì. Còn nếu chú cứ nghĩ rằng người khác nghĩ chú ngu với đần, thì chú đừng hỏi nữa.

Chú nghĩ mấy thằng học giỏi Toán là do chúng nó bẩm sinh giỏi à? Ai cũng phải là thằng ngu trước, rồi mới khôn ra.

Nhắc lại: anh không biết $u$ là cái gì, công thức ra sao? Anh không biết, thế nên anh mới hỏi. Vậy thôi.

MathForLife · 08-06-2015, 08:38 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Thì anh yêu cầu chú viết cụ thể lại công thức của chú ra, để anh xem vì sao nó không bằng. Câu hỏi của chú, trả lời của anh 123456, thì liên quan đếch gì tới anh mà chú đòi anh phải đọc hết cả topic?

Chú muốn anh giúp, thì chú viết cụ thể cái công thức chú đang tính toán là gì, để anh nhòm xem có vấn đề gì. Còn nếu chú cứ nghĩ rằng người khác nghĩ chú ngu với đần, thì chú đừng hỏi nữa.

Chú nghĩ mấy thằng học giỏi Toán là do chúng nó bẩm sinh giỏi à? Ai cũng phải là thằng ngu trước, rồi mới khôn ra.

Nhắc lại: anh không biết $u$ là cái gì, công thức ra sao? Anh không biết, thế nên anh mới hỏi. Vậy thôi.

Với $$u(x)=g(x)|g(x)|$$
$$||T(u)||=|\int_{R^n} u(t)g(t)dt|$$
$$||u(x)||_{p}=(\int_{R^n} |u(t)|^{p})^{\frac{1}{p}}=(\int_{R^n} |g(t)|g(t)||^{p})^{\frac{1}{p}}$$
$$||g(x)||_{q}=(\int_{R^n} |g(t)|^{q})^{\frac{1}{q}}$$
Giờ em nhân lại nó không bằng nhau anh.
$$||T(u)||=||u||_{p}||g||_{q}$$

21-04-2015, 01:45 PM	#1
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Ánh xạ tuyến tính liên tục Cho $q,p,r$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u)=ug$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$ và $\|\|T\|\|=\|\|g\|\|_{q}$ __________________ Khả niệm bất khả thuyết

22-04-2015, 12:26 AM	#5
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Cho $q,p,$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $1=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u(t))=\int_{R^{n}}u(t)g(t)dt$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),R)$ và $\|\|T\|\|=\|\|g\|\|_{q}$ Đây anh! __________________ Khả niệm bất khả thuyết

08-06-2015, 01:25 AM	#13
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Em có viết công thức ra và nhân lại nó không bằng nên em mới hỏi anh ạ chứ tới đó thì tự làm được rồi ạ! Chẳng là vì em ngu chứ k phải vì cái lí do kia anh! Bởi bản thân em có làm cũng làm như anh 12345 thôi anh! __________________ Khả niệm bất khả thuyết