Bài toán về số chính phương.

[chinhtam]

Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptnkmt11]

Nguyên văn bởi chinhtam

Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương.

Đặt $n^2+3^n = m^2$

=> $3^n = (m+n)(m-n)$

1.Trường hợp $n= 0$ thì $m=1$

2. Trường hợp $n \geq 1$

a)Nếu $m-n =1$ thì $3^n = 2n +1$

Theo bđt Bernoulli thì $3^n \geq 2n +1$

Dấu "=" xảy ra khi $n=1$

b)Nếu $m-n$ khác 1
Suy ra $m+ n$ và $m-n$ chia hết 3
$\Rightarrow \left\{\begin {matrix} 2m \vdots 3 && \\ 2n \vdots 3 && \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin {matrix} m \vdots 3 && \\ n \vdots 3 && \end{matrix}\right.$

Giả sử $m =m_1.3^k$ và $n= n_1.3^k$ với $m_1,n_1$ là số tự nhiên dương và $m_1$ hoặc $n_1$ không chia hết 3.
Ta có:
$3^n = 3^{2k} (m_1-n_1)(m_1+n_1)$
$\Rightarrow 3^{n-2k} = (m_1-n_1)(m_1+n_1)$

Chứng minh tương tự ta có
b1) $n=2k$ => $n_1=0$ => $n=0$ (loại, do đang xét $n\geq 1$)

b2) hoặc $m_1-n_1 =1$ và $n=2k+1$
$\Rightarrow n= 2k+1 = 3^k$
$\Rightarrow n=3 $

b3) hoặc $m_1$ và $n_1$ chia hết 3 (vô lý)

Vậy n có nghiệm (0,1,3)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]