Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012 - Page 7

kien10a1 · 08-03-2012, 09:38 PM

Bài 31: Bài này có lẽ là ghép từ 2 bài toán quen thuộc.
Trước tiên, ta có kết quả OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF.
Ta chứng minh M, trực tâm J của DEF và I thẳng hàng là xong. Hạ các đường cao FT, ES của tam giác DEF.
Có $\widehat{HED}=\widehat{HDE}=\widehat{DFK} $ nên E,F,H,K đồng viên, suy ra $\overline{MF}.\overline{MK}=\overline{Me}.\overlin e{MH} $
Xét 2 đường tròn đường kính FK và EH:thì thấy M có cùng phương tích với cả 2, I là trực tâm DHK, J là trực tâm DEF nên cũng có I,J có cùng phương tích với 2 đường tròn trên, suy ra M,I,J thẳng hàng và có ĐPCM

macdangnghi · 09-03-2012, 10:50 AM

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

nghiepdu-socap · 09-03-2012, 10:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài này là bài hình vòng 1 đề thi chọn đội tuyển dự thi quốc gia của Hà Tĩnh năm nay. Có thể sử dụng phép vị tự quay

kien10a1 · 09-03-2012, 11:52 AM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho
$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},
\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},
\angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Thực ra là nó cũng đã có trên diễn đàn rồi, phần sau của bài này: [Only registered and activated users can see links. ]

king_math96 · 09-03-2012, 08:58 PM

Bài 36: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng $\forall x_{k}>0(k=\overline{1,n})$ thỏa mãn:$x_1 \le x_2 \le ... \le x_{n}$:
$$k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_{n}} \le \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k} \right)-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \le k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_1}$$.
Nguồn: Nguyễn Bảo Phúc

macdangnghi · 10-03-2012, 09:13 AM

Bài 36: Cho p nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương tồn tại đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho Q(1),Q(2),...,Q(n) phân biệt và là lũy thừa của p.
------------------------------
Bài 37: Cho tứ giác lồi ABCD. E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AD,BC sao cho $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC} $. Tia FE cắt các tia BA,CD lần lượt tại S và T. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE,SBF,TCF và TDE cùng đi qua một điểm.

kien10a1 · 10-03-2012, 05:50 PM

Bài 37: Bài này là USA MO 2006 :[Only registered and activated users can see links. ]

5434 · 18-03-2012, 10:47 AM

Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

quykhtn · 18-03-2012, 05:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 5434

Bài 39 Cho các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

Bài này hình như là bài thi olympic Poland cách đây mấy năm.
Có thể chứng minh bài toán này dựa vào đánh giá: $ \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \le \frac{a^2+b^2}{a+b} $.

Bài 40
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $ 2(x^4-y^4)=z^2 $.

Bài 41
Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn: $ a^2+b^2+c^2=3 $.Chứng minh rằng:

$ \frac{(1-a)(1-ab)}{a(1+c)}+\frac{(1-b)(1-bc)}{b(1+a)}+\frac{(1-c)(1-ca)}{c(1+b)} \ge 0 $

.

king_math96 · 18-03-2012, 05:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 5434

Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

Ta chứng minh đánh giá:
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \leq \frac{a^2+b^2}{a+b}. $
Tương đương với: $(a+b)^3(a^3+b^3) \leq 2(a^2+b^2)^3. $
hay $(a-b)^4(a^2+ab+b^2) \geq 0. $
Do đó ta cần chứng minh:
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+ d^2}{c+d}+\frac{d^2+a^2}{d+a} \leq 2(a+b+c+d-2) $
Chú ý: $\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}. $ Nên ta cần chứng minh:
$2 \leq \frac{ab}{a+b}+\frac{cb}{c+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac {ad}{a+d} $
Mà theo Cauchy Schwarz ta có:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1 }{c}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d} }
+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{d}} \geq 2. $
Suy ra Q.E.D!

**namdung** · 22-03-2012, 02:12 PM

Bài 42. Trong một nhóm 12 người giữa 9 người bất kỳ có 5 người đôi một quen nhau. Chứng minh rằng trong nhóm này có 6 người đôi một quen nhau.

Bài 43. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 sao cho $2^n + 1 $ chia hết cho n. Gọi p là một ước nguyên tố của n. Chứng minh rằng nếu $p \ne 3 $ và $p \ne 19 $ thì $p \ge 163 $.
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Đang cần tĩnh dưỡng mà post bài nhiệt tình thế bạn ơi.

Mấy bài này có vẻ câu b) không có ý nghĩa lắm vì độ tăng của $5^m+3^m $ "khỏe" hơn rất nhiều so với $m^2-1 $. Tuy nhiên, câu (a) bài này khá hay. MS cũng tò mò xem có bạn nào giải được bài này không? Theo trí nhớ của MS thì tác giả bài này là harazi (Gabriel Dospinescu), và đã từng post trên ML cách đây mấy năm.

Đề của macdangnghi câu a) Tìm m sao cho $m^2 - 1 $ là ước của $5^m + 3^m $ và câu b) Tìm m sao cho $5^m + 3^m $ chia hết cho $m^2 - 1 $ thực ra là 1. Vì a là ước của b tương đương với b chia hết cho a.

Bài này như bình luận trên 1 trang web thì vẫn là bài toán mở, chưa có ai giải được.

nghiepdu-socap · 22-03-2012, 02:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Bài 42. Trong một nhóm 12 người giữa 9 người bất kỳ có 5 người đôi một quen nhau. Chứng minh rằng trong nhóm này có 6 người đôi một quen nhau.

Bài này là cách phát biểu khác của bài 8 đề thi khối 10 Russian MO 1999.

vnmo · 22-03-2012, 11:48 PM

Thấy mọi người ai cũng đưa bài lên chứ ít cựu TSTer đưa ra mấy lời khuyên để các em có tâm lý mần bài tốt. Mình xin đưa ra bài học mà mình rút ra được:
-Phải luôn tự tin. Vì đây là cuộc thi chọn người đi thi quốc tế nên nhiều người thi với tâm lý sợ sệt. Mình cũng từng thế, đi thi mà chưa bao h dám nghĩ đến chuyện được vào top 6. Thực tế thì 42 người vào đến vòng này đều ngang ngửa nhau về khả năng cũng như cơ hội. Tất cả đều giỏi và bạn nằm trong số đó. Thêm nữa những năm gần đây thì những bạn lọt qua vòng này có nhiều người đến từ các tỉnh "mới" trong phong trào học toán như Hà Tĩnh, Quảng Bình, Bình Phước hay Bắc Ninh, Quảng Ninh. Hãy cố gắng tới giây phút cuối cùng. Đừng đặt nặng tâm lý phải giải 4 bài, 5 bài hay hơn thế nữa. Với TST đôi khi giải trọn vẹn 3 bài đã đủ vào top 6. Tổ hợp là phần khó nhưng nếu ai khá về hình học, BĐT, biết một ít định lý chia hết, thặng dư của số cũng có khả năng làm được trọn vẹn 3 bài cơ mà. Đừng gục ngã trên bàn thi bạn nhé. Năm 2009, thậm chí mình còn rất nản khi giải bài hình vòng 2 kể cả khi hai ngày đã làm được hai bài rồi. Năm ấy giải được ba bài là cầm chắc vào top 6.
Chúc mọi người ôn tập và thi hết sức mình

**namdung** · 27-03-2012, 01:48 PM

Kinh nghiệm thi TST là phải làm được những bài dễ. Và đã làm được thì trình bày cho chắc. Thống kê các kỳ TST cho thầy, trừ một vài năm cá biệt, còn lại là chỉ cần làm 3-4 bài chắc ăn là có suất đội tuyển. Chú ý là khó người khó ta, dễ ta dễ người. Do đó thấy đề khó đừng vội nản, thấy đề dễ đừng ỷ y.

Một trong những kinh nghiệm quý giá nữa là hãy cố gắng kiếm điểm thành phần, tức là giải được một phần của bài toán.

Chú ý trình bày cho súc tích, chặt chẽ, có kết luận đầy đủ. Nên nhớ rằng trong 42 bạn, sẽ có nhiều bạn làm bài giống ta, và hơn nhau lúc này là ai chặt chẽ hơn.

Khi học ôn, đừng quá chú trọng 1 phần nào đó quá, đến khi thi không có dễ bị hụt hẫng, ảnh hưởng tâm lý. Hãy chuẩn bị tư tưởng là chúng ta sẽ gặp 6 bài toán hoàn toàn mới, và chúng ta đã sẵn sàng để đối mặt với những khó khăn mà các bài toán đặt ra.

5434 · 28-03-2012, 10:19 PM

Bài 44 : tìm n nhỏ nhất sao cho tồn tại $f : Z \rightarrow [0, +\propto) $ thỏa
$f(xy)=f(x)f(y) $
$2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y) $ nhận một trong các giá trị {0,1,...n} với mọi x,y nguyên.
Với n đó tìm f.

08-03-2012, 09:38 PM	#1
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài 31: Bài này có lẽ là ghép từ 2 bài toán quen thuộc. Trước tiên, ta có kết quả OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF. Ta chứng minh M, trực tâm J của DEF và I thẳng hàng là xong. Hạ các đường cao FT, ES của tam giác DEF. Có $\widehat{HED}=\widehat{HDE}=\widehat{DFK} $ nên E,F,H,K đồng viên, suy ra $\overline{MF}.\overline{MK}=\overline{Me}.\overlin e{MH} $ Xét 2 đường tròn đường kính FK và EH:thì thấy M có cùng phương tích với cả 2, I là trực tâm DHK, J là trực tâm DEF nên cũng có I,J có cùng phương tích với 2 đường tròn trên, suy ra M,I,J thẳng hàng và có ĐPCM tên thay thật - IMO __________________ Quay về với nơi bắt đầu

09-03-2012, 08:58 PM	#5
king_math96 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ Bài gởi: 170 Thanks: 156 Thanked 87 Times in 50 Posts	Bài 36: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng $\forall x_{k}>0(k=\overline{1,n})$ thỏa mãn:$x_1 \le x_2 \le ... \le x_{n}$: $$k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_{n}} \le \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k} \right)-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \le k.\frac{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})^2}{x_1}$$. Nguồn: Nguyễn Bảo Phúc __________________ Giang hồ đẫm máu anh không sợ Chỉ sợ đường về vắng bóng em.

10-03-2012, 09:13 AM	#6
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Bài 36: Cho p nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương tồn tại đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho Q(1),Q(2),...,Q(n) phân biệt và là lũy thừa của p. ------------------------------ Bài 37: Cho tứ giác lồi ABCD. E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AD,BC sao cho $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC} $. Tia FE cắt các tia BA,CD lần lượt tại S và T. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE,SBF,TCF và TDE cùng đi qua một điểm. thay đổi nội dung bởi: macdangnghi, 10-03-2012 lúc 09:19 AM Lý do: Tự động gộp bài

10-03-2012, 05:50 PM	#7
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài 37: Bài này là USA MO 2006 :[Only registered and activated users can see links. ] __________________ Quay về với nơi bắt đầu

18-03-2012, 10:47 AM	#8
5434 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: no*i ty bă't đâ'u Bài gởi: 695 Thanks: 121 Thanked 335 Times in 214 Posts	Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $ Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $ __________________ thay đổi nội dung bởi: 5434, 18-03-2012 lúc 10:52 AM

09-03-2012, 10:50 AM	#2
macdangnghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 11 Thanks: 1 Thanked 15 Times in 7 Posts	Bài 35: Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $ và các điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1} $ sao cho $\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}, \angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1}, \angle CBA=\angle C_{1}B_{1}A_{1} $. Chứng minh rằng trực tâm của hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1} $ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

22-03-2012, 11:48 PM	#13
vnmo +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Đến từ: bay qua bay lại giữa Hà Nội và Hà Tịnh Bài gởi: 12 Thanks: 2 Thanked 7 Times in 3 Posts	Thấy mọi người ai cũng đưa bài lên chứ ít cựu TSTer đưa ra mấy lời khuyên để các em có tâm lý mần bài tốt. Mình xin đưa ra bài học mà mình rút ra được: -Phải luôn tự tin. Vì đây là cuộc thi chọn người đi thi quốc tế nên nhiều người thi với tâm lý sợ sệt. Mình cũng từng thế, đi thi mà chưa bao h dám nghĩ đến chuyện được vào top 6. Thực tế thì 42 người vào đến vòng này đều ngang ngửa nhau về khả năng cũng như cơ hội. Tất cả đều giỏi và bạn nằm trong số đó. Thêm nữa những năm gần đây thì những bạn lọt qua vòng này có nhiều người đến từ các tỉnh "mới" trong phong trào học toán như Hà Tĩnh, Quảng Bình, Bình Phước hay Bắc Ninh, Quảng Ninh. Hãy cố gắng tới giây phút cuối cùng. Đừng đặt nặng tâm lý phải giải 4 bài, 5 bài hay hơn thế nữa. Với TST đôi khi giải trọn vẹn 3 bài đã đủ vào top 6. Tổ hợp là phần khó nhưng nếu ai khá về hình học, BĐT, biết một ít định lý chia hết, thặng dư của số cũng có khả năng làm được trọn vẹn 3 bài cơ mà. Đừng gục ngã trên bàn thi bạn nhé. Năm 2009, thậm chí mình còn rất nản khi giải bài hình vòng 2 kể cả khi hai ngày đã làm được hai bài rồi. Năm ấy giải được ba bài là cầm chắc vào top 6. Chúc mọi người ôn tập và thi hết sức mình

27-03-2012, 01:48 PM	#14
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Kinh nghiệm thi TST là phải làm được những bài dễ. Và đã làm được thì trình bày cho chắc. Thống kê các kỳ TST cho thầy, trừ một vài năm cá biệt, còn lại là chỉ cần làm 3-4 bài chắc ăn là có suất đội tuyển. Chú ý là khó người khó ta, dễ ta dễ người. Do đó thấy đề khó đừng vội nản, thấy đề dễ đừng ỷ y. Một trong những kinh nghiệm quý giá nữa là hãy cố gắng kiếm điểm thành phần, tức là giải được một phần của bài toán. Chú ý trình bày cho súc tích, chặt chẽ, có kết luận đầy đủ. Nên nhớ rằng trong 42 bạn, sẽ có nhiều bạn làm bài giống ta, và hơn nhau lúc này là ai chặt chẽ hơn. Khi học ôn, đừng quá chú trọng 1 phần nào đó quá, đến khi thi không có dễ bị hụt hẫng, ảnh hưởng tâm lý. Hãy chuẩn bị tư tưởng là chúng ta sẽ gặp 6 bài toán hoàn toàn mới, và chúng ta đã sẵn sàng để đối mặt với những khó khăn mà các bài toán đặt ra.

28-03-2012, 10:19 PM	#15
5434 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: no*i ty bă't đâ'u Bài gởi: 695 Thanks: 121 Thanked 335 Times in 214 Posts	Bài 44 : tìm n nhỏ nhất sao cho tồn tại $f : Z \rightarrow [0, +\propto) $ thỏa $f(xy)=f(x)f(y) $ $2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y) $ nhận một trong các giá trị {0,1,...n} với mọi x,y nguyên. Với n đó tìm f. f(x) khác hằng __________________