|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-04-2013, 12:11 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Đề thi OLP SV năm 2013 môn Đại số Câu 1. Cho hệ phương trình tuyến tính $$ \left\{ \begin{matrix} -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\ x_1 & - & 5x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & - & [n(n+1)-1]x_n & = \ 1. \end{matrix} \right. $$
Câu 2. Cho $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,\ldots,e^{x^n}, \, n \ge 1$. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ các hàm số liên tục trên đoạn $[0,1]$. Câu 3. Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số thực, $n \ge 2$. Tính định thức $$ D_n=\begin{vmatrix} a_0-a_1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a_1 & a_1-a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a_2 & a_2-a_3 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1}-a_n \end{vmatrix}. $$ Câu 4. Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên trường số thực sao cho $A^2B=BA^2$. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ lũy linh, tức là mọi lũy thừa đủ lớn của nó bằng 0. Câu 5. Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,\ldots,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+\cdots b_n$ lẻ, $n \ge 1$. Chứng minh rằng đa thức $$ P(x)=ax^{n+1}+b_1x^n+\cdots+b_nx+a $$ không có nghiệm hữu tỉ, Câu 6. Có bao nhiêu ma trận vuông câp $n$ có đúng $n+1$ phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và có định thức bằng 1? __________________ M. |
The Following 4 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: | hieu1411997 (10-04-2013), magician_14312 (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013), YeuEm Zayta (30-03-2014) |
10-04-2013, 12:41 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 4 Thanks: 4 Thanked 5 Times in 2 Posts | Câu 4 sai đề. Sinh viên kiếm điểm mà làm ăn chán quá. Năm nào cũng sai *bíp* thể hiểu nổi. thay đổi nội dung bởi: klemen, 10-04-2013 lúc 12:51 PM |
10-04-2013, 01:27 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 58 Thanks: 4 Thanked 21 Times in 14 Posts | Trích:
Câu 5: giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ (p,q nguyên tố cùng nhau, q khác 0). Khi đó: $q^{n+1}.P(\frac{p}{q})=a.p^{n+1}+b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=0$ Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=-a.p^{n+1}$ Suy ra $aq^{n+1}$ chia hết cho p suy ra $a$ chia hết cho $p$ suy ra $p$ lẻ. Hoàn toàn tương tự $q$ cũng lẻ. Do đó:$b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$ chẵn. Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}$ lẻ. Lại có $a.p^{n+1}+aq^{n+1}$ chẵn nên $q^{n+1}.P(\frac{p}{q})$ lẻ.Suy ra $P(\frac{p}{q})$ khác 0. Pt ko có nghiệm hữu tỉ. Câu 6:sử dụng nguyên lí dirichle. Nếu tồn tại 3 số 1 cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì còn lại n-2 số 1 nằm trên n-1 dòng hoặc cột. Do đó sẽ có ít nhất 1 dòng hoặc cột ko có số 1 nào tức là toàn số 0. Định thức khi đó bằng 0. Vậy chỉ có thể tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột. Khi tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì định thức sẽ gồm n-1 số 1 nằm khác hàng và cột và 2 số 1 nằm chung 1 hàng và 2 số 1 nằm chung 1 cột, giá trị của định thức luôn bằng giá trị của định thức mới khi thay 1 số 1 nằm trên vị trí thuộc hàng chứa 2 số 1 và cột 2 số 1 bởi 0 (Cm điều này bằng khai triển định thức trên dòng chứa 2 số 1 ta sẽ có định thức con của số 1 đó luôn bằng 0). Giá trị của định thức bằng giá trị của định thức mới và bằng $a_{i_{1}}.a_{i_{2}}...a_{i_{n}}.(-1)^{w(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$. Trong đó $a_{i_{j}}=1$ với $j$ từ 1 đến n.$i_{1},i_{2},...,i_{n}={1,2,3,4,...,n}$ $w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ là số nghịch thế của dãy $i_{1},i_{2},...,i_{n}$. Giá trị của định thức bằng 1 khi $w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ chẵn. Ta có số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ mà có tổng cộng $n!$ hoán vị nên sẽ có $\frac{n!}{2}$ hoán vị có số nghịch thế chẵn. Vị trí của số 1 bị thế bởi giá trị 0 sẽ có $n^2-n$ vị trí. Do đó sẽ có $\frac{n!}{2}.(n^2-n)$ ma trận. thay đổi nội dung bởi: khanhkhtn, 10-04-2013 lúc 02:36 PM | |
The Following 2 Users Say Thank You to khanhkhtn For This Useful Post: | leminhansp (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013) |
10-04-2013, 05:46 PM | #4 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Trích:
Gọi A là ma trận thõa mãn các yêu cầu của bài toán, thế thì mỗi hàng và mỗi cột của ma trận phải có ít nhất 1 phần tử là 1 (để đảm bảo định thức khác 0). Nhờ vào tính chất này, có thể đổi chỗ các cột của A để thu được một ma trận tiêu chuẩn, và dựa vào việc detA=1 suy ra số lần đổi chỗ các cột phải là số chẵn. Như vậy ta có thể tạo ra A bằng cách đổi chỗ số chẵn lần các cột của một ma trận tiêu chuẩn tùy ý. Số ma trận tiêu chuẩn là: $n(n-1) $. Số ma trận tạo ra bằng cách đổi chỗ các cột với số chẵn lần là: $\frac{n!}{2} $. Như vậy số ma trận cần tìm đúng như đáp án của bạn khanhkhtn. __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... | |
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post: |
10-04-2013, 05:53 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts | Trích:
| |
10-04-2013, 06:52 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 21 Thanks: 30 Thanked 4 Times in 4 Posts | Không phải đâu bạn, đề câu IMC 2009 day 2 giả thiết là $A^2B+BA^2=2ABA$ và đã được mấy bác nhà mình dùng trong đề năm 2011 rồi (thay bằng giả thiết dễ hơn cho $AB-BA$ giao hoán với cả $A$ và $B$) |
14-04-2013, 02:25 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 456 Thanks: 64 Thanked 215 Times in 143 Posts | Câu 1: Mỗi phương trình trong hệ có thể viết thành $\sum_{i=1}^n{x_i}-1=i(i+1)x_i $ Như vậy, nếu đặt $a=i(i+1)x_i $ thì ta có: $a\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}-1=a $ tương đương: $a(1-\frac{1}{n+1})-a-1=0 $ Suy ra $a=-(n+1) $ Nghiệm của hệ là $x_i=\frac{-(n+1)}{i(i+1)} $. Câu 5: Giả sử pt có nghiệm hữu tỉ (chú ý là chắc chắn nghiệm này khác 0) $p/q $, trong đó $(p,q)=1 $. Từ đó: $ap^{n+1}+b_1p^nq+\ldots+aq^{n+1}=0 $ Nếu $p $ và $q $ cùng lẻ hay có đúng 1 số chẵn thì vế trái đều là 1 số lẻ, do đó ta có giả sử phản chứng là sai. Câu 6: Nếu có tồn tại 1 hàng hay 1 cột không có số 1 nào thì đương nhiên định thức là 0. Như vậy ta chỉ xét trường hợp bất kì hàng hay cột nào cũng có ít nhất 1 số 1. Từ đây suy ra, có đúng 1 số $a_{i,j}=1 $ mà nó cùng hàng (và cùng cột) với một số 1 khác (và một số 1 khác nữa). Dùng tính chất đa tuyến tính của định thức, ta tách ma trận đã cho theo hàng $i $ thành 1 ma trận có $n $ số 1 mà không có 2 số 1 nào cùng hàng hoặc cùng cột và một ma trận khác có 2 hàng thứ $i $ và thứ $k $ nào đó giống nhau (tất cả các vị trí đều là 0 trừ vị trí ở cột $j $). Định thức ma trận thứ 2 là 0 và ma trận thứ nhất là dấu của hoán vị tương ứng với ma trận (cái này giống kiểu biểu diễn hoán vị bằng ma trận). Ta có 1 song ánh từ chọn ma trận cần tìm vào chọn 1 ma trận hoán vị chẵn và vị trí viết thêm 1 số 1 vào $n(n-1) $ vị trí còn lại. Tức là số ma trận thỏa mãn là $n(n-1)\times \frac{n!}{2} $. (Dùng kết quả số các hoán vị chẵn là $\frac{n!}{2} $ (nhóm thay phiên $A_n $). ------------------------------ Câu 3 là bài 12.19 cuốn ĐSTT qua các ví dụ và bài tập thì phải. Nếu đặt $b_i=(-1)^ia_i $ và nhân $-1 $ vào các cột lẻ thì sẽ đưa về bài đấy. thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 14-04-2013 lúc 02:32 AM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following User Says Thank You to beyondinfinity For This Useful Post: | MathForLife (10-02-2014) |
31-12-2014, 04:27 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Bài gởi: 5 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | Ai có file đáp án,đề không cho mình xin. |
31-12-2014, 04:58 PM | #9 |
Administrator | Đây là kỷ yếu của ĐH Duy Tân năm đó, có đủ đáp án cả 2 môn đấy bạn: https://www.dropbox.com/s/gsr684lv9d...02013.pdf?dl=0 __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | thaygiaocht (31-12-2014) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|