Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2014

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-01-2014, 11:47 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,156
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
[VMO 2014] Bài 5 - Hình học phẳng

Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$.
a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng.
b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
liverpool29 (04-01-2014), thaygiaocht (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 11:49 AM   #2
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 109
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Phần a thì dễ rồi. Phần b thì $AF$ chính là đường đối trung nên nó đồng quy với 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$
Vì em ngu si, lòng đã không suy nghĩ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 12:08 PM   #3
pega94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 184
Thanks: 35
Thanked 17 Times in 17 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hansongkyung View Post
Phần a thì dễ rồi. Phần b thì $AF$ chính là đường đối trung nên nó đồng quy với 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$
Vì em ngu si, lòng đã không suy nghĩ
Anh phải tài thiên hông mà năm nào cũng thi hết vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
pega94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to pega94 For This Useful Post:
ptnkmt11 (05-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:11 PM   #4
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 68
Thanked 323 Times in 145 Posts
Câu hình ngày 2 khá đơn giản.

a) $\angle ABN=\angle BAN=\angle ACM$ nên tứ giác $MBNC$ nội tiếp. Từ đó $QB.QC=QN.QM$ hay $Q$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMN)$ và $(ABC).$
b) Tứ giác $BMCN$ nội tiếp nên $MN$ là đường đối song ứng với $BC$, suy ra $MN\perp AO$. Như vậy $(AED)$ là đường tròn đường kính $EO$. Suy ra $ABFC$ là tứ giác điều hòa, suy ra $AF$ đi qua giao của 2 tiếp tuyến tại $B$ và $C.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Nguyen Van Linh, 04-01-2014 lúc 04:53 PM
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Nguyen Van Linh For This Useful Post:
huynhcongbang (04-01-2014), thaygiaocht (08-01-2015)
Old 04-01-2014, 12:13 PM   #5
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$.
a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng.
b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định.
a) Chú ý các tứ giác $APCB, APNM, BCMN, CPQN$ nội tiếp nên dùng góc ta thấy $A, P, Q$ thẳng hàng.
Chú ý: Khi trình bày nên dùng góc định hướng đỡ phụ thuộc hình vẽ.
b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau.
Mấu chốt ý sau là tứ giác $ABFC$ điều hòa, cái này khá quen thuộc (chú ý 5 điểm A,B,F,D,O đồng viên).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 04-01-2014 lúc 12:45 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
huynhcongbang (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:15 PM   #6
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,156
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Up cái hình cho rõ.



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Bai 6.PNG (39.4 KB, 353 lần tải)
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 04-01-2014 lúc 12:18 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 12:44 PM   #7
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau.
Trời đất ơi. Em chứng minh được $ A, K, O$ thẳng hàng và $AK \perp MN$ rồi không biết làm gì tiếp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.

thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 04-01-2014 lúc 01:04 PM
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post:
thaygiaocht (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:48 PM   #8
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 109
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Câu b,


Dễ thấy $O$ là trực tâm tam giác $AMN$ nên $AO \perp MN$. Mà $AK$ là trục đẳng phương của $(M)$ và $(N)$ nên $AK \perp MN$
Suy ra $O \in AK$

Từ đó suy ra tứ giác $AODE$ nội tiếp.

Vẽ đường tròn $(U)$ bán kính $OC$. Vì tam giác $ODC$ vuông tại $D$ nên $D \in (U)$. Cũng có $(U)$ tiếp xúc trong với $(O)$ nên tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(U)$.
Xét 3 đường tròn $(ADO),(O),(U)$ suy ra $AF, OD, CC$ đồng quy.

Suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hansongkyung For This Useful Post:
huynhcongbang (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:49 PM   #9
luugiangnam
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Đến từ: Cà Mau
Bài gởi: 82
Thanks: 99
Thanked 31 Times in 19 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới luugiangnam
Bài này cần góc định hướng nữa hả thầy Luật? Em chỉ nêu là tứ giác BMNC nội tiếp rồi ra luôn chứ ko xài GĐH.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://www.facebook.com/giangnam.luu.9?ref=tn_tnmn
luugiangnam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to luugiangnam For This Useful Post:
thaygiaocht (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:52 PM   #10
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi luugiangnam View Post
Bài này cần góc định hướng nữa hả thầy Luật? Em chỉ nêu là tứ giác BMNC nội tiếp rồi ra luôn chứ ko xài GĐH.
Viết "Các trường hợp khác chứng minh tương tự" cũng được. Trường hợp M, N nằm trên cạnh của tam giác có thể góc bằng sẽ thay đổi thành bù và ngược lại.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
hakudoshi (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 02:07 PM   #11
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts
Có thể dùng luôn tính chất tứ giác điều hòa mà không chứng minh lại được không nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 02:11 PM   #12
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Viết "Các trường hợp khác chứng minh tương tự" cũng được. Trường hợp M, N nằm trên cạnh của tam giác có thể góc bằng sẽ thay đổi thành bù và ngược lại.
Từ $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ suy ra
$(CM,CN) \equiv (BA,BN) \equiv (BM,BN) \pmod \pi$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post:
thaygiaocht (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 02:59 PM   #13
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 109
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Từ $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ suy ra
$(CM,CN) \equiv (BA,BN) \equiv (BM,BN) \pmod \pi$
Từ góc hình học chưa thể suy ra góc định hướng được. Vì nhỡ đâu nó ngược hướng thì làm sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 03:04 PM   #14
hoca
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gởi: 55
Thanks: 1
Thanked 13 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conanvn View Post
Có thể dùng luôn tính chất tứ giác điều hòa mà không chứng minh lại được không nhỉ?
hinh như có đấy bạn, trong cái giới hạn kiến thức được dùng ko có
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hoca is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hoca For This Useful Post:
thaygiaocht (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 05:42 PM   #15
vinhhai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
VMO_bài 5

Ta có $OA = OC, MA = MC$ nên $MO \perp AC$ do đó $MO \perp AN.$
Tương tự ta có $NO \perp AB$ do đó $NO \perp AM.$
Tam giác $AMN$ có $O$ là trực tâm nên $AO \perp MN.$
Ta lại có $MA = MK, NA = NK$ nên $AK \perp MN$
Vì vậy, $A, O, K$ thẳng hàng.
Do $\angle OAE = \angle ODE = 90^0$ nên đường tròn $(ADE)$
nhận $OE$ làm đường kính.
Vì hai giao điểm $A, F$ đối xứng qua $EO$ nên từ $AE \perp AK$
ta suy ra $AE \perp AO$ hay $EA$ tiếp xúc $(O)$ thì ta cũng có
$EF$ tiếp xúc $(O).$
Điều này cho ta, so với đường tròn $(O)$, $AF$ là đối cực của $E.$
Cực của $AF$ là $E$ thuộc $BC$ thì cực của $BC$ là $G$ thuộc $AF$
Do $BC$ cố định nên $G$ cố định vì thế $AF$ đi qua $G$ cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vinhhai, 04-01-2014 lúc 11:25 PM
vinhhai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:25 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 105.85 k/123.02 k (13.96%)]