Trao đổi về một số phương trình nghiệm nguyên!

[ma 29]

Nguyên văn bởi quantaida

gọi ước chung của x-2 và x+5 là d
nên x+5-(x-2) chia hết cho d
hay 7 chia hết cho d
nên d=1 hoặc 7
anh Khánh bị stress rồi

Em ghi là 1,7 nên anh hiểu là 1 và 7.
Mà theo lí luận ban đầu của em thì em khẳng định là nó có 2 ước chung thì không ổn rồi. Phải nói là: "Ước chung nếu có ..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Một bài khác:
$m^n=n^{m-n} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi ma 29

Một bài nữa

Bài toán: GPT nghiệm nguyên không âm:
$(x+1)^2 +(x+2)^2 =(y+3)^2 $

em làm thế này đúng ko nhỉ
$(x+1)^2 +(x+2)^2 =(y+3)^2 $
$\to 2x^2+6x+5=y^2+6y+9 $
$\to 2x^2+6x=y^2+6y+4 $
$\to VT\vdots 2\to VT \vdots 2\to y\vdots 2 $ đặt $y=2a $
ta có:$ 2x^2+6x=4a^2+12a+4 $
$ \to x^2+3x=2a^2+6a+2 $
$\to x(x+3)=2(a^2+3a+1) $
$\to x(x+3)=2[a(a+3)+1] $
ta thấy $x, x+3 $ sẽ có 1 số là số lẻ, một số là số chẵn
$a,a+3 $ cũng có một số lẻ và một số chẵn suy ra $a(a+3)\vdots 2\to a(a+3)+1\not \vdots 2 $
Xét các TH:
Với $x\vdots 2\to x+3\not \vdots 2 $
do đó $VT $ có $x $ chẵn, $x+3 $ lẻ
$VP $ có $2 $ chẵn $a(a+3)+1 $ lẻ
do đó $\{x=2\\x+3=a(a+3)+1 $
từ đây dễ dàng tính đc $y $
Với $x+3\vdots 2\to x\not \vdots 2 $
cũng tương tự như TH trên ta có $\{x+3=2\\x=a(a+3)+1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Bài toán tiếp: Tìm các số a,b,c nguyên dương để với mọi n lẻ thì PT : $n=ax^2 +by^2 +cz^2 $ có nghiệm tự nhiên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi ma 29

4)$19^x+87^y=28^z $

bài này mấu quá anh khánh ơi , hôm nọ tình cờ em rở quyển ptnn ra , ko may gặp bài này, thấy nó giải khủng khiếp lắm, tận 1 trang +1 mặt +1/3 mặt S
$19^x+87^y=28^z $
$\to 19^x+87^y=4^z.7^z $
ta có $19^x\equiv (-1)^x(mod4),87^y\equiv (-1)^y(mod4) $
suy ra $(-1)^x+(-1)^y\equiv 0(mod 4) $
suy ra $x,y $ khác tính chẵn lẻ
Nếu $x=2k+1,y=2h $ ta có:
$19^{2k+1}+87^{2h}=28^z $
Với $z=2n\to 19^{2k+1}=(28^n-87^h)(28^n+87^h)\vdots 59 $
hay $19^{2k+1}\vdots 59 $(vô lý)
Với $z=2n+1\to 87^2h=28^{2n+1}-19^{2k+1}\vdots 9 $
hay $87^{2h}\vdots 9 $(vô lý)
Nếu $x=2h,y=2k+1 $ hoàn toàn tương tự
kết luận phương trình vô nghiệm

==============

Nguyên văn bởi ma 29

Một bài khác:
$m^n=n^{m-n} $

ơ anh ơi em nghĩ đề là $m^{n+m}=n^{m-n} $ chứ ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kimtrong93]

Tặng cho mấy anh bài này :
Với a,b,c,n là các số nguyên cho trước .Hãy nêu cách giải tổng quát cho ptrình nghiệm nguyên sau:$ax^2+bxy+cy^2=n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi Mercury

bài này mấu quá anh khánh ơi ,

==============

Mấu cái zầy mà mấu :kiss: Em giải ngon đó:hornytoro:

ơ anh ơi em nghĩ đề là $m^{n+m}=n^{m-n} $ chứ ạ

Em giải theo đề của em đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi Mercury

$m^{n+m}=n^{m-n} $

xét phương trình:
$m^{n+m}=n^{m-n} $
với m=n ta có:$m=n=1 $
với $m>n $ ta có:
$m^{n+m}=\frac{n^m}{n^n}\to (mn)^n=(\frac{m}{n})^m $
$\to m \vdots n $
đặt $m=kn(k\in N*) $
Khi đó: $(kn^2)^n=(k)^{kn}\to kn^2=k^k\to n^2=k^{k-1} $
Nếu $k=2a+1 $ khi đó: $ n^2=(2a+1)^{2a}\to n=(2a+1)^a $
vậy có nghiệm là $(n,m)=((2a+1)^a;(2a+1)^{a+1}) $
Nếu $k=4a^2 $ thì $n=(2a)^{4a^2-1};m=(2a)^{4a^2+1} $
..............

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tientruong29]

giải nốt giùm em bài này nhé!!!
Tìm nghiệm nguyên : $x^3 + x^2.y + xy^2 +y^3 = 8(x^2 + xy +y^2 +1) $
PS: lười gõ latex quá mấy anh thông cảm nhé

Mình đã chỉnh TEX hộ bạn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Nguyên văn bởi kimtrong93

Tặng cho mấy anh bài này :
Với a,b,c,n là các số nguyên cho trước .Hãy nêu cách giải tổng quát cho ptrình nghiệm nguyên sau:$ax^2+bxy+cy^2=n $

Ko biết cái này có thể dùng phân tích ra thừa số phức rồi làm ko nhẩy! Nếu hệ số a,b,c mà bất kỳ kiểu này mà chém được= số phức thì bài này giải được!
Ví dụ:$x^2+2y^2=k $(k là số nguyên dương). Anh em làm thử xem!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tqdung]

Nguyên văn bởi tientruong29

giải nốt giùm em bài này nhé!!!
Tìm nghiệm nguyên : $x^3 + x^2.y + xy^2 +y^3 = 8(x^2 + xy +y^2 +1) $
PS: lười gõ latex quá mấy anh thông cảm nhé

Mình đã chỉnh TEX hộ bạn!

hơ. Vẫn cách cũ mà tiến bước. ko mất tính TQ giả sử x>y. Đặt x=y+a (a nguyên dương). Viết lại
$4y^3+a^3+6y^{2}a+4y.a^{2}=8(3y^2+3ya+a^2+1) $. Suy ra a chia hết cho 2. Đặt a=2b. Tiếp: $y^3+2b^3+3y^2.b+4y.b^2=6y^2+12yb+8b^2+2 $. Đặt $u=y+b;v=b^2 $.tương đương $u^3+uv^2=6u^2+2v^2+2 $. Suy ra $v^2=(2-u^3+6u^2)/(u-2) $. (từ đó dễ suy ra KQ) umb:
Nhớ thank nha ku trường
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DCsonlinh_DHV]

tìm $a,b,c,d \in Z $trong đó$a $ khác $b $ để PT $(x+ay+c)(x+by+d)=2 $ có 4 nghiệm nguyên khác nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tientruong29]

Nguyên văn bởi kimtrong93

Tặng cho mấy anh bài này :
Với a,b,c,n là các số nguyên cho trước .Hãy nêu cách giải tổng quát cho ptrình nghiệm nguyên sau:$ax^2+bxy+cy^2=n $

mình chỉ bíết 1 định lý sau còn giải tq thì có lẽ nhờ mọi người ribble:
Với a>0 và $b^2-4ac $ ko là số chính phương thì nếu pt trên tồn tại 1 cặp nghiệm dương thì nó có vô số nghiệm.

Nguyên văn bởi DCsonlinh_DHV

tìm $a,b,c,d \in Z $trong đó$a $ khác $b $ để PT $(x+ay+c)(x+by+d)=2 $ có 4 nghiệm nguyên khác nhau

cái này xét TH thôi mà, mình nhớ trong cuốn ptnn của Phan Huy Khải có bài này đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]