|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
25-01-2016, 09:47 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2016 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 4 Times in 2 Posts | Dãy các hình tròn và dãy các đa giác đều Gọi $\{D_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các hình tròn có dãy các bán kính là $\{R_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$, còn $\{P_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các đa giác lồi $2015$ cạnh thỏa mãn\[D_{n+1}\subset P_n\subset D_n\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Chứng minh rằng $\lim R_n=0$. |
27-01-2016, 03:09 AM | #2 |
Administrator | Bài toán rất thú vị ạ. Em không giải chi tiết ra nhưng có ý tưởng như sau: Xét đa giác lồi $P$ là $A_1A_2...A_{2015}$ bị chứa trong hình tròn $\Omega$ và cũng đa giác đó chứa trong nó hình tròn $\omega$. Xét $P$ là một điểm tùy ý trong đa giác, nối $P$ với các đỉnh $A_1,A_2,...A_{2015}$ cắt $\Omega$ tại $B_1,B_2,...,B_{2015}$ theo thứ tự đó. Suy ra ta có một đa giác mới nội tiếp trong $\Omega$ và diện tích hơn hơn $P$. Tiếp theo, lại dựng các tiếp tuyến của $\omega$ song song với các cạnh $A_1A_2,A_2A_3,...,A_{2015}A_1$ (trong 2 tiếp tuyến thì chọn cái gần với cạnh tương ứng hơn). Các tiếp tuyến cắt nhau tạo đa giác $C_1C_2...C_{2015}$ và dễ thấy rằng đa giác này ngoại tiếp $\omega$ và có diện tích nhỏ hơn $P$. Từ các nhận xét đó, ta thấy rằng chỉ cần giải quyết được bài toán sau thì bài toán ban đầu sẽ kết thúc: Cho đa giác $Q$ có $2015$ cạnh, nội tiếp trong đường tròn $\Omega$ bán kính $R$ và ngoại tiếp đường tròn $\omega$, bán kính $r$. Xác định một hằng số dương $k < 1$ sao cho $\dfrac{r}{R} \le k$ với mọi đa giác $Q$ như trên. Trong trường hợp tam giác, ta có $k = \frac{1}{2}$. Cái này thì quen thuộc rồi. Trong trường hợp tứ giác, ta có $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$, chứng minh không dễ, phải dùng định lý Fuss. Đặt $d=OI$ là khoảng cách giữa 2 tâm thì có $$\dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2} = \dfrac{1}{r^2}.$$ Trường hợp đa giác $2015$ cạnh thì em cũng tin là số $k$ đó tồn tại, nhưng chưa nghĩ kỹ ra được, có thể sử dụng lượng giác. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | pco (27-01-2016) |
Bookmarks |
|
|