Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2016

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-02-2016, 05:41 PM   #1
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Tiến đến kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam 2016

Xin chào các bạn,

Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán.

Năm nay lực lượng tham dự TST đông đảo nhất đến từ vùng Bắc Trung Bộ: Thanh Hóa (8), Nghệ An (7), Hà Tĩnh (4), ĐH Vinh và Quảng Bình mỗi đơn vị 1. Ở vùng Bắc bộ năm nay đánh dấu sự trở lại bất ngờ của Hà Nội với 7 đại diện, còn lại là các đơn vị như ĐHQG, ĐHSP, Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Nam Định ... Các tỉnh phía Nam trở vào chỉ có 7 suất sự TST gồm PTNK (2), Đà Nẵng (2), Quảng Nam (1), Bình Định (1), Vũng Tàu (1).

Để tạo điều kiện cho các bạn học sinh tiếp xúc với mức độ đề toán TST, rèn kỹ năng giải các bài toán khó hơn mức VMO, đặc biệt là rèn khả năng làm việc ở cường độ cao trong 4 tiếng rưỡi, chúng tôi sẽ tuyển chọn 1 số bài toán "mức độ TST" để các bạn tự làm. Lời giải, bình luận, nhận xét sẽ được gửi sau để các bạn tham khảo.

Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014.

1. Với dãy số $ x_1, x_2, ..., x_n $ các số thực ta gọi giá của dãy số đó là $ max_{1 \le i \le n}|x_1+...+x_i|$. Cho n số thực, Dave và George muốn sắp xếp các số này thành một dãy với giá thấp. Chàng trai siêng năng Dave kiểm tra tất cả các trường hợp và tìm được giá nhỏ nhất D. Chàng trai tham lam George đã sử dụng một cách khác, chọn $x_1$ sao cho $|x_1|$ nhỏ nhất, sau đó trong tất cả các số còn lại, chọn $x_2$ sao cho $|x_1 + x_2|$ nhỏ nhất và cứ thế. Tức là ở bước thứ i, George sẽ chọn $x_i$ trong các số còn lại sao cho $|x_1 + x_2 +...+ x_i|$ nhỏ nhất. Ở mỗi bước nếu có vài số cho kết quả như nhau thì George chọn ngẫu nhiên. Cuối cùng anh ấy thu được giá G.

Tìm hằng số c nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương n, với mọi bộ n số thực và với mọi dãy số mà George có thể thu được, các kết quả thu được thỏa mãn bất đẳng thức $ G \le cD$.
(Grudia đề nghị)

2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên.
(Hà Lan đề nghị)

3. Xét tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện sau: với mọi số thực $ x $ và $ y $ ta có $|y^2 – P(x)| \le 2|x| $ khi và chỉ khi $ |x^2 – P(y)| \le 2|y|$. Tìm tất cả các giá trị có thể của $P(0)$.
(Bỉ đề nghị)

4. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ sao cho $n^2 + 4f(n) = (f(f(n))^2 $ với mọi $n$ nguyên.
(Anh đề nghị)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 10 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post:
2M (03-02-2016), Fool's theorem (04-02-2016), huynhcongbang (21-02-2016), mathandyou (03-02-2016), Nguyen Van Linh (03-02-2016), nguyentatthu (04-02-2016), pco (05-02-2016), thaibinh (03-02-2016), thaygiaocht (03-02-2016), tikita (05-02-2016)
Old 04-02-2016, 08:57 AM   #2
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Em xin được góp vui chút ạ.

Bài 5: Giả sử An đi làm một bài thi trắc nghiệm có $n $ câu hỏi trên máy tính, mỗi câu chỉ có $1 $ đáp án đúng. Sau mỗi lần An chọn xong và nộp bài thì máy tính sẽ hiện ra kết quả tính điểm với số câu An chọn đúng. Với bài thi này An có thể làm lại sau mỗi lần nộp bài. Hỏi An phải làm ít nhất bao nhiêu lần để chắc chắn luôn tìm ra đáp án đúng cho cả $n$ câu hỏi trong các trường hợp sau:
a, Mỗi câu hỏi có $2 $ đáp án, và mỗi lần trước khi nộp bài An không được bỏ trống câu nào.
b, Mỗi câu hỏi có $4 $ đáp án, và An có thể bỏ trống không làm một số câu tùy ý.

Bài 6: Có bao nhiêu cách điền các số tự nhiên từ $1 $ đến $n^2 $ vào bảng $nxn $ sao cho nếu ta cứ chọn $n $ ô mà không có hai ô nào cùng hàng hoặc cùng cột thì sẽ được tổng $n $ ô này là một số cố định?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 04-02-2016 lúc 09:00 AM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
Fool's theorem (04-02-2016), namdung (04-02-2016)
Old 04-02-2016, 10:24 AM   #3
Fool's theorem
+Thành Viên Danh Dự+
 
Fool's theorem's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: T1 K46 Chuyên ĐHSP Hà Nội
Bài gởi: 187
Thanks: 42
Thanked 191 Times in 101 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Fool's theorem
Em cũng muốn góp vài bài em gặp trong năm nay ạ

Bài 7: Cho một bàn cờ vô hạn, trong đấy có một đường kẻ ngang được đánh dấu. Xếp các quân cờ ở dưới vạch kẻ ngang kia. Mỗi quân cờ chỉ được di chuyển bằng cách nhảy qua đầu một quân cờ khác (quân cờ bị nhảy qua sẽ bị bị loại bỏ sau đó), mỗi bước nhảy chỉ có độ dài 2 ô và đích đến phải là ô trống (Ví dụ một bước đi hợp lệ: oox -> xxo, với x là ô trống và o là quân cờ). Mục đích của trò chơi là có thể di chuyển 1 quân cờ đến hàng thứ $k$ phía trên vạch kẻ được đánh dấu, với số quân ít nhất có thể (biết rằng có thể tuỳ ý xếp quân, miễn là ở dưới vạch kẻ ngang). Hỏi số quân cờ ít nhất mà ta cần là bao nhiêu nếu:
a) $k = 4$
b) $k = 5$

Bài 8: Có 12 chú lùn sống trong 12 ngôi nhà xếp quanh 1 vòng tròn. Mỗi ngôi nhà được sơn 1 trong 2 màu xanh hoặc trắng. Mỗi tháng, một chú lùn, vì không có việc gì để làm, lại vác sơn và đi sơn các ngôi nhà theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ chính nhà của chú này. Nhưng ngay sau khi phải sử dụng sơn xanh (tức là đã ngay sau khi sơn nhà trắng -> xanh) thì chú lùn nào cũng lập tức dừng lại không sơn các nhà khác nữa. Chứng minh rằng sau 1 năm tất cả 12 ngôi nhà đều quay lại màu sơn ban đầu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Hope against hope.
Fool's theorem is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Fool's theorem For This Useful Post:
namdung (04-02-2016), nguyentatthu (05-02-2016)
Old 04-02-2016, 11:39 AM   #4
lucifer97
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2014
Bài gởi: 7
Thanks: 2
Thanked 5 Times in 4 Posts
Hình như chưa có hình nên em xin phép mở hàng
Bài 9: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, trong đó $BC$ là dây cung cố định và $A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $M, H$ là trung điểm $BC$ và trực tâm tam giác $ABC. N$ đối xứng $M$ qua $AH$. Đường tròn $(AMN)$ cắt $AB, AC$ tại $E, F.$
a) Chứng minh $EF$ là tiếp tuyến của 1 đường tròn cố định
b) Chứng minh $EF$ luôn cắt đường tròn $(HBC)$ tại 2 điểm $P, Q$ và 4 điểm $M, N, P, Q$ nằm trên 1 đường tròn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: lucifer97, 04-02-2016 lúc 11:56 AM
lucifer97 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to lucifer97 For This Useful Post:
namdung (04-02-2016)
Old 04-02-2016, 05:40 PM   #5
lucifer97
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2014
Bài gởi: 7
Thanks: 2
Thanked 5 Times in 4 Posts
Bài 10: Vào lễ tuyên dương học sinh giỏi vượt khó năm $2015$, BTC quyết định tặng thưởng $n$ phần quà cho $2015$ học sinh xuất sắc của tỉnh A. Biết rằng khi khảo sát, số quà của $1008$ học sinh bất kì luôn lớn hơn 1 nữa số quà đã phát. Hỏi số phần quà mà 1 học sinh có thể nhận tối đa và tổng số cách phát quà trong mọi trường hợp có thể có của $n$ là bao nhiêu nếu:
a) Số quà mỗi bạn nhận được là khác nhau?
b) Có tối đa $2$ bạn nhận được cùng số quà?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lucifer97 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-02-2016, 09:23 PM   #6
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 83 Times in 53 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Xin chào các bạn, Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán. Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014. 2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên. (Hà Lan đề nghị)
Một cách tiếp cận bài này với ý tưởng tóm lượt như sau
  1. Rỏ ràng $f$ không phải là hàm hằng và luôn tồn tại các số nguyên $a,b$ với $a>0$ sao cho $f(n+a)=f(n)+b,\forall n\in\mathbb{Z}$.
  2. Gọi $a>0$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên $b$ để $f(n+a)=f(n)+b,\forall n\in\mathbb{Z}$. Khi đó với mọi số nguyên $c,d$ thỏa $f(n+c)=f(n)+d,\forall n\in\mathbb{Z}$ thì $c$ và $f(n)$ cùng chia hết cho $a$.
  3. Từ tính chất $(2)$ và khi thay $n,m$ ở phương trình bằng $an,am$ ta được $f(n+a)=f(n)+2a,\forall n\in\mathbb{Z}$, $f(0)=1007\vdots a$ và $f(an)=2an+1007,\forall n\in\mathbb{Z}$.
  4. Do $f(m)\vdots a$ với mọi $m$ nên từ phương trình đầu và $(3)$ suy ra $f(3m)=3f(m)-2014,\forall m\in\mathbb{Z}$. Hay
    $$f(3^km)-1007=3^k(f(m)-1007),\forall m,k\in\mathbb{Z},k>0.$$
  5. Do $a$ ước của $1007$ nên $(3,a)=1$ suy ra tồn tại $k\in\mathbb{N}^*$ sao cho $3^k-1\vdots a$. Từ $(3),(4)$ ta có
    $$3^k(f(m)-1007)=f(3^km)-1007=f(m+(3^k-1)m)-1007=f(m)+2(3^k-1)m-1007.$$
    Từ đây suy ra $f(m)=2m+1007,\forall m\in\mathbb{Z}$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-02-2016, 12:54 AM   #7
Harry Potter
+Thành Viên+
 
Harry Potter's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Bài gởi: 32
Thanks: 24
Thanked 26 Times in 6 Posts
Mình cũng xin gửi 1 bài, chúc đội tuyển năm nay của chúng ta sẽ mạnh nhất
Bài 11:
Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên, có bậc lớn hơn 2. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên m sao cho $P(m!)$ là một hợp số.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Harry Potter is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-02-2016, 04:27 PM   #8
Short_list
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: Tp.HCM
Bài gởi: 85
Thanks: 12
Thanked 79 Times in 32 Posts
Bài 12. Chứng minh rằng nếu $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1,$ thì
\[ a+b^2+c^3+d^4 \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d ^4}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The Simplest Solution Is The Best Solution
Short_list is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2016, 10:40 AM   #9
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Gợi ý cho bài 1: c = 2 và chứng minh bằng quy nạp. Ví dụ để không thay thế được c bằng hằng số nhỏ hơn là 1, -1, 2, -2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2016, 01:30 PM   #10
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi Harry Potter View Post
Mình cũng xin gửi 1 bài, chúc đội tuyển năm nay của chúng ta sẽ mạnh nhất
Bài 11:
Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên, có bậc lớn hơn 2. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên m sao cho $P(m!)$ là một hợp số.
Bài này không khó. Các em công phá thử xem nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-02-2016, 01:57 PM   #11
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Short_list View Post
Bài 12. Chứng minh rằng nếu $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1,$ thì
\[ a+b^2+c^3+d^4 \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d ^4}.\]
Mình thử đưa ra ý tưởng (có thể chứa đựng những sai sót).
Đặt $f(x)= x-\frac{1}{x}$ với $x\in (0,\infty)$.

Nhận xét:
  • Nếu $x, y$ là số thực dương sao cho $xy \ge 1$ thì $$f(x)+f(y)\ge 2f(\sqrt{xy})\ge 0.$$
  • $d\ge 1\ge a,\, ad^4\ge 1$.
  • Vì $ac \le c \le d$ nên $d^2b \ge 1$.
  • $abd^2 \ge abcd=1$.
  • Nếu $ba^2 \le 1$ thì $ba^2 \le \sqrt[3]{ba^2} \le c$. Do đó $$ bd^2c^3\ge (abcd)^2=1.$$
  • Nếu $ba^2 >1$ thì $b^2c^3\ge (ab)(a^{7/3}b^{2/3})= (ba^2)^(5/3)>1$.
Trường hợp 1: $ba^2 \le 1$

Ta có $$ f(a)+f(b^2)+f(c^3)+f(d^4) \ge\left[f(a)+f(bd^2)\right]+\left[f(c^3)+f(bd^2)\right].$$
Tiếp theo
$$VP \ge 2f(\sqrt{abd^2})+ 2 f(\sqrt{bd^2c^3}) \ge 0.$$
Trường hợp 2: $ba^2 >1$
Ta có
$$f(a)+f(d^4) \ge 2f(\sqrt{ad^4}) \ge 0,$$

$$f(b^2)+f(c^3) \ge 2f(\sqrt{b^2c^3}) \ge 0.$$
Suy ra ĐPCM.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$.

Hi vọng không có sai sót nghiêm trọng !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Galois_vn For This Useful Post:
huynhcongbang (21-02-2016), namdung (24-02-2016)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:03 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 87.22 k/99.48 k (12.32%)]