Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Giải Tích/Analysis

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-11-2016, 02:10 PM   #1
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 506
Thanks: 160
Thanked 189 Times in 160 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Xét tính đầy đủ của tập trong $H^1$.

Xét ${X_1} = \left\{ {x \in {H^1}\left( {0,1} \right),x\left( 1 \right) = 0} \right\}$ trên $X_1$ ta định nghĩa
\[{\left\| x \right\|_{{X_1}}} = {\left\| {{x^\prime }} \right\|_{{L^2}}}\]
Hỏi $X_1$ có đầy đủ hay không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-11-2016, 11:51 PM   #2
brahman
+Thành Viên Danh Dự+
 
brahman's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 75
Thanks: 5
Thanked 24 Times in 17 Posts
Lâu quá không động tay tới toán trìu tượng nhưng thấy bài này quen quen. Rõ là $X_1 $ đầy đủ trong $H^1$.

CM: Lấy dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ về $x_0 \in H^1$, chứng minh $x_0 \in X_1$, tức là $x_0 (1) = 0$.

Có thể sử dụng cách biểu diễn sau
$$
\begin{align}
x(t) = x(1) - \int_{t}^{1} x'(s) d s
\end{align}
$$
với mọi $x \in H^1$. Trước hết đong đưa tí. Nếu $x \in X_1$ thì $x(1) = 0$, và
$$
\begin{align}
| x(t) | \le \left| \int_{t}^{1} x'(s) d s \right|
\end{align}
$$
Chiều bđt trên vẫn ổn nếu đưa con trị toẹt vào trong tích phân, xong dồi phóng to nó nên bằng cách cho cmn $t=0$. Ngang đó dùng bđt Holder cho vế phải, rồi bình phương, rồi lấy tích phân theo $t$ bên vế trái, rồi rút ra được
$$
\begin{align}
\left\| x \right\|_{L^2} \le C_1 \left\| x' \right\|_{L^2}
~~~ \Rightarrow ~~~
\left\| x \right\|_{H^1} \le C_2 \left\| x' \right\|_{L^2}
\end{align}
$$
với mọi $x \in X_1$, trển $C_1$, $C_2$ là hằng số.

Bi giờ quay lại trò mèo phía trên:
\begin{align}
x_n (1) &= x_n (t) + \int_{t}^{1} x_n '(s) d s ,
\\
x_0 (1) &= x_0 (t) + \int_{t}^{1} x_0 '(s) d s ,
\\
| x_n (1) - x_0 (1) | &\le | x_n (t)- x_0(t) | + \left| \int_{t}^{1} ( x_n '(s) - x_0' (s) ) d s \right| .
\end{align}
Nhái lại đoạn đánh giá bđt phía trên SAU KHI áp dụng cái bđt (gì quên cmn tên ) $ (a+b)^2 \le (1^2 + 1^2) (a^2 + b^2 ) $; khéo thì vãi ra được
\begin{align}
| x_n (1) - x_0 (1) | &\le C_3 \left\| x_n - x_0 \right\|_{H^1} .
\end{align}
Lấy giới hạn khi $n \uparrow \infty $ thì kết $x_0(1) = 0$.

EDIT 01: kết quả này mà giao phối với phép nhúng liên tục $H^1 (0,1) \to C( [0,1] ) $ thì cho bức tranh toàn cảnh khá tươi tắn về vết của một phân bố trong $H^1$ trên biên.

Hỏi: Điều này còn đúng trong $H^1 ( \Omega ) $ với $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2 $ không? Giải thích.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: brahman, 17-11-2016 lúc 10:57 AM
brahman is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to brahman For This Useful Post:
portgas_d_ace (17-11-2016)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:28 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 43.42 k/47.25 k (8.12%)]