Sự giống nhau kì diệu của tâm hai đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác.

[ma 29]

Đây là một bài viết mà mình buồn chân buồn tay viết ra,có thể cũng có nhiều bạn cho nó là vớ vẩn bởi mình cũng không tâm đắc về nó Tuy nhiên xét theo nghĩa toán học thì đây là một bài viết về phương pháp tương tự hóa.....................

SỰ GIỐNG NHAU KÌ DIỆU CỦA TÂM HAI ĐƯỜNG TRÒN NỘI ,NGOẠI TIẾP TAM GIÁC..!!!!!!!!!!!!!!!! \ Hoàng Quốc Khánh



A/MỞ ĐẦU.

Với tam giác ABC , ta kí hiệu O,I lần lượt là tâm hai đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Qua quá trình học toán mình bắt gặp những tính chất giống nhau đến lạ, đẹp tuyệt của hai điểm này:hornytoro::hornytoro:,xin kể ra đây 4 bài làm ví dụ.Trước tiên ta thêm giả thiết đã:
Gọi S là I hoặc O.

Bài 1:Kẻ SD,SE,SF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.Thế thì AD,BE,CF đồng quy.

Bài 2: (ASD),(BSE),(CSF) đồng quy.

Bài 3: Gọi M,N,P lần lượt là điểm đối xứng của S qua D,E,F thế thì AM,BN,CP đồng quy.

Bài 4: Gọi A',B',C' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác SBC,SCA,SAB. Khi ấy AA',BB',CC' đồng quy.

Sự giống nhau này ngoài việc làm chúng ta thích thú vì vẻ đẹp của chúng còn có một ý nghĩa khác quan trọng hơn: hãy tưởng tượng bạn bắt gặp một tính chất về 1 trong 2 điểm bạn hãy thử với điểm còn lại và biết đâu nó sẽ đúng,và nhờ đó ta sẽ có những kết quả mới!!!!!



B/THỬ THỰC HÀNH XEM SAO.

Chúng ta sẽ thử dùng cách trên để tìm thêm các tính chất xem sao.
Và cũng chẳng cần bắt đầu từ đâu xa,từ ngay bài toán 4 ở trên.......,cụ thể là một phần của nó mà ta tách riêng ra như sau:

Bài toán xuất phát: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I).Gọi A',B',C' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác IBC,ICA,IAB. Khi ấy AA',BB',CC' đồng quy.

Bây giờ,ta thử thay tâm ngoại tiếp bằng tâm nội tiếp xem nó còn đúng không?(Hy vọng nó đúng )
Cụ thể ,chúng ta đặt ra bài toán sau:


Bài toán lơ mơ 1: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I).Gọi A',B',C' lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác IBC,ICA,IAB. Khi ấy AA',BB',CC' đồng quy hay không?

Về tính đúng đắn của nó:

Xem cái hình vẽ sau nha






Sẽ xài cái Ceva sin vậy...

Ta thấy:


$\frac{\sin A'AB}{\sin A'AC} =\frac{\frac{\sin ABA'}{ AA'} .A'B} {\frac{\sin ACA'}{ AA'} .A'C} =\frac{\sin ABA' .\sin A'CB }{\sin ACA' .\sin A'BC}=\frac{\sin \frac{3B}{4} .\sin \frac{C}{4} }{\sin \frac{3C}{4} .\sin \frac{B}{4} } $

Thiết lập hai hệ thức tương tự rồi dùng Ceva sin sẽ suy ra AA',BB',CC' đồng quy!!!

Bình luận:Các bạn có thể thấy đây là một bài toán mà việc tìm lời giải của nó hoàn toàn dễ dàng,tuy nhiên sự đồng quy này cũng đẹp và khá thú vị ,mà riêng với tác giả điều nhỏ bé này cũng thật tuyệt vời!!! :hornytoro:


Hy vọng rằng với ý tưởng này ,các bạn sẽ tìm được một số niềm vui nho nhỏ trong học tập.

Ghi chú: Đây là một chuyên đề mà ma 29 đã khai bút từ khá lâu nhưng chưa hoàn thiện nó.Hôm nay, vào một cái ngày trọng đại ma 29 đã hoàn chỉnh nó để thể hiện tình cảm của mình..................................
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dorekofu]

niềm vui nho nhỏ , xén thêm dăm bài hình nựa điiiiiiiiiii , ma đọc xong hẵng del
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi dorekofu

niềm vui nho nhỏ , xén thêm dăm bài hình nựa điiiiiiiiiii ,

Ko hiểu ông bạn nói gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dorekofu]

Nguyên văn bởi ma 29

Ko hiểu ông bạn nói gì

:hornytoro:Khổ tớ đọc lại , đọc 3 lần mới hiểu mình nói gì , mất 5 phút mới nghĩ ra , thì ra alf ngày đó , định bảo cậu "xén" --> thêm vài bài hình nữa đi , còn niềm vui nho nhỏ , chả hiểu tớ định nói cái ở đó nựa :waaaht:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[naruto1992]

Cái tính chất 2 là hiển nhiên mà anh. Đối với mọi điểm M trong tam giác ABC ta đều có (AMD), (BME), (CMF) đồng quy tại M:beatbrick:, đâu phải chỉ cho tâm ngoại tiếp và nội tiếp.:rokeyrulez:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Em xin đóng góp tí :hornytoro:
Từ bài toán Olympic mùa đông Bungari,1996 (xem tại đây:[Only registered and activated users can see links. ]),tương tự hóa thay đường tròn nội tiếp tứ giác thành đường tròn ngoại tiếp tứ giác và tổng quát tí trở thành bài toán sau:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm $O $ và điểm P bất kì.$d_A \perp PA,d_B \perp PB,d_A \perp PC,d_C \perp PC,d_D \perp PD $;$d_A $ giao $d_B $ tại M,$d_B $ giao $d_C $ tại N,$d_C $ giao $d_D $ tại P,$d_D $ giao $d_A $ tại Q.Chứng minh rằng điểm O,trung điểm của MP và trung điểm của NQ thẳng hàng.
Biến đổi tí sẽ ra được bài toán sau:[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi naruto1992

Cái tính chất 2 là hiển nhiên mà anh. Đối với mọi điểm M trong tam giác ABC ta đều có (AMD), (BME), (CMF) đồng quy tại M:beatbrick:, đâu phải chỉ cho tâm ngoại tiếp và nội tiếp.:rokeyrulez:

Em cho anh biết cái chứng minh nhé, cám ơn :hornytoro:

Nguyên văn bởi nbkschool

Em xin đóng góp tí :hornytoro:
Từ bài toán Olympic mùa đông Bungari,1996 (xem tại đây:[Only registered and activated users can see links. ]),tương tự hóa thay đường tròn nội tiếp tứ giác thành đường tròn ngoại tiếp tứ giác và tổng quát tí trở thành bài toán sau:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm $O $ và điểm P bất kì.$d_A \perp PA,d_B \perp PB,d_A \perp PC,d_C \perp PC,d_D \perp PD $;$d_A $ giao $d_B $ tại M,$d_B $ giao $d_C $ tại N,$d_C $ giao $d_D $ tại P,$d_D $ giao $d_A $ tại Q.Chứng minh rằng điểm O,trung điểm của MP và trung điểm của NQ thẳng hàng.
Biến đổi tí sẽ ra được bài toán sau:[Only registered and activated users can see links. ]

Cái Khoa nói hay đấy,thực ra mấy cái anh chọn trong bài viết trên là khá đơn giản và quen thuộc cốt sao cho mọi người hiểu dc ý tưởng thôi,rất vui vì các bạn tiếp tục phát triển nó :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

@naruto1992:Ơ chết,sơ ý quá ,xin lỗi mọi người,xin bổ sung là đồng quy ở hai điểm
Tuy nhiên ngay cả với trường hợp đồng quy ở hai điểm này thì các bạn suy nghĩ thử xem kết quả bài toán có đúng với mọi điểm hay không? ))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]