Đề Ra Kì Này - Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ

[Trầm]

Số 424 - Tháng 10/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/424.}$ Tìm tất cả các số gồm $2$ chữ số sao cho khi nhân số đó với $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ thì tổng các chữ số của chúng đều bằng nhau.

$\fbox{Bài T2/424.}$ Cho $S= \dfrac{2}{2013+1}+
\dfrac{2^2}{2013^2+1}+...+\dfrac{2^{2014}}{2013^{2 014} +1}$. So sánh $S$ với $\dfrac{1}{1006}$.

$\fbox{Bài T3/424.}$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$(y-2)x^2+(y^2-6y+8)x=y^2-5y+62$$

$\fbox{Bài T4/424.}$ Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: $$x^2+y^2+ \left(\dfrac{xy+1}{x+y} \right)^2=2$$ Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

$\fbox{Bài T5/424.}$ Giả sử $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$. $E, F, H$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $B, C, O$ đến $AD$. Chứng minh rằng: $AD.BE.CF \ge AC.BD.OH$

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/424.}$ Xét các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)} \ge 9$$

$\fbox{Bài T7/424.}$ Giải phương trình:
$$\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}+1 \right)^4=
3 \left(x^4+\dfrac{1}{x^4}+1 \right)^3$$

$\fbox{Bài T8/424.}$ Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{BAC}<90^{\circ}$. Giả sử $P$ là 1 điểm thuộc miền trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BAP}=\widehat{ACP}, \widehat{CAP}=\widehat{ABP}$. Gọi $M, N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABP$, $ACP$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}+\dfrac{ 1 }{AP}$$

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/424.}$ Giải phương trình:
$$[x]^3+2x^2=x^3+2[x]^2$$

$\fbox{Bài T10/424.}$ Cho một hình vuông có cạnh $1$. Bên trong hình vuông này có $n$ hình tròn có tổng diện tích lớn hơn $n-1$. Chứng minh rằng tồn tại $1$ điểm của hình vuông này nằm trong các hình tròn đó.

$\fbox{Bài T11/424.}$ Cho phương trình: $a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=0$ có $n$ nghiệm số phân biệt.
Chứng minh rằng: $\dfrac{n}{n-1} > \dfrac{2a_0a_2}{a_1^2}$

$\fbox{Bài T12/424.}$. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ là $I_a$. $AI \cap BC=D$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI_a$ cắt $AC$ tại $M$. Gọi $E$ là giao của $BI$ và $AC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm của $IM$.

Qua bài này mình cũng xin ý kiến một chút. Mình cảm ơn bạn tranghieu95 đã post đề, nhưng lần sau nếu bạn, hoặc ai đó có post thì nên post lại chính xác tất cả những gì có trong đề, đừng ghi tắt chỗ nào cả, vậy thì không nên .
Hiện giờ mình chưa có báo, bạn nào phát hiện chỗ nào chưa chuẩn thì gửi tin nhắn cho mình hoặc bất kì mod nào để sửa nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]