Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-08-2011, 02:50 PM   #1
kynamsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 78
Thanked 65 Times in 40 Posts
Đề chọn đội tuyển sinh viên

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai $A $ thoả mãn
$A^2 -A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \right] $
Câu 2: Tính định thức sau:
$\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ a_1^2+a_2 & a_2^2+a_2 & a_3^2+a_3 & a_4^2+a_4 & a_5^2+a_5 \\ a_1^3+a_1^2 & a_2^3+a_2^2 & a_3^3+a_3^2 & a_4^3+a_4^2 & a_5^3+a_5^2 \\ a_1^4+a_1^3 & a_2^4+a_2^3 & a_3^4+a_3^3 & a_4^4+a_4^3 & a_5^4+a_5^3 \\ a_1^5+a_1^4 & a_2^5+a_2^4 & a_3^5+a_3^4 & a_4^5+a_4^4 & a_5^5+a_5^4
\end{vmatrix} $
Câu 3: Tìm hạng ma trận $A = [a_i_j] $ vuông cáp 7 xác định bởi:
$a_i_j = i - 2010j, \forall j= 1,...,7 \forall j= 1,...,7 $
Câu 4: Tính $A^{2010} $ với
$A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $

Câu 5: Cho các $a_1, a_2, a_3, a_4,a_5, a_6 $ là các số thực đôi một khác nhau. Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} a_1^5x_1 +a_1^4x_2+a_1^3x_3+a_1^2x_4 +a_1x_5 +x_6=-a_1^6\\a_2^5x_1 +a_2^4x_2+a_2^3x_3+a_2^2x_4 +a_2x_5 +x_6=-a_2^6\\a_3^5x_1 +a_3^4x_2+a_3^3x_3+a_3^2x_4 +a_3x_5 +x_6=-a_3^6\\a_4^5x_1 +a_4^4x_2+a_4^3x_3+a_4^2x_4 +a_4x_5 +x_6=-a_4^6\\a_5^5x_1 +a_5^4x_2+a_5^3x_3+a_5^2x_4 +a_5x_5 +x_6=-a_5^6\\a_6^5x_1 +a_6^4x_2+a_6^3x_3+a_6^2x_4 +a_6x_5 +x_6=-a_6^6\end{cases} $

Câu 6: Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1x^{n-1} +...+ a_{n-1}x +1 \in \Large\mathbb{R} $ có $n $ nghiệm thực phân biệt và $a_i \ge \ 0, \forall i = 1, ... , n-1 $. Chứng minh rằng:
$ P(2010) \ge \ 2011^n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kynamsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to kynamsp For This Useful Post:
franciscokison (27-08-2011), huynhcongbang (26-08-2011), MathForLife (05-02-2012), ngocson_dhsp (14-02-2012), thieu_dhsp (16-03-2013)
Old 26-08-2011, 03:52 PM   #2
kynamsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 78
Thanked 65 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kynamsp View Post
Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai $A $ thoả mãn
$A^2 -A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \right] $
Câu 2: Tính định thức sau:
$\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ a_1^2+a_2 & a_2^2+a_2 & a_3^2+a_3 & a_4^2+a_4 & a_5^2+a_5 \\ a_1^3+a_1^2 & a_2^3+a_2^2 & a_3^3+a_3^2 & a_4^3+a_4^2 & a_5^3+a_5^2 \\ a_1^4+a_1^3 & a_2^4+a_2^3 & a_3^4+a_3^3 & a_4^4+a_4^3 & a_5^4+a_5^3 \\ a_1^5+a_1^4 & a_2^5+a_2^4 & a_3^5+a_3^4 & a_4^5+a_4^4 & a_5^5+a_5^4
\end{vmatrix} $
Câu 3: Tìm hạng ma trận $A = [a_i_j] $ vuông cáp 7 xác định bởi:
$a_i_j = i - 2010j, \forall j= 1,...,7 \forall j= 1,...,7 $
Câu 4: Tính $A^{2010} $ với
$A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $

Câu 5: Cho các $a_1, a_2, a_3, a_4,a_5, a_6 $ là các số thực đôi một khác nhau. Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} a_1^5x_1 +a_1^4x_2+a_1^3x_3+a_1^2x_4 +a_1x_5 +x_6=-a_1^6\\a_2^5x_1 +a_2^4x_2+a_2^3x_3+a_2^2x_4 +a_2x_5 +x_6=-a_2^6\\a_3^5x_1 +a_3^4x_2+a_3^3x_3+a_3^2x_4 +a_3x_5 +x_6=-a_3^6\\a_4^5x_1 +a_4^4x_2+a_4^3x_3+a_4^2x_4 +a_4x_5 +x_6=-a_4^6\\a_5^5x_1 +a_5^4x_2+a_5^3x_3+a_5^2x_4 +a_5x_5 +x_6=-a_5^6\\a_6^5x_1 +a_6^4x_2+a_6^3x_3+a_6^2x_4 +a_6x_5 +x_6=-a_6^6\end{cases} $

Câu 6: Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1x^{n-1} +...+ a_{n-1}x +1 \in \Large\mathbb{R} $ có $n $ nghiệm thực phân biệt và $a_i \ge \ 0, \forall i = 1, ... , n-1 $. Chứng minh rằng:
$ P(2010) \ge \ 2011^n $
Câu 1: Đặt:$Y =A-\frac{1}{2}I \Rightarrow Y^2=(A-\frac{1}{2}I)(A-\frac{1}{2}I)=A^2-A+\frac{1}{4}I \Rightarrow Y^2=A^2-A+\frac{1}{4}I= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \right]+ \frac{1}{4}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{4} & 1 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{array} \right] $.
lại đặt $ Y=\left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d\end{array} \right] \Rightarrow Y^2=\left[ \begin{array}{ccc} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{array} \right] \Rightarrow \begin{cases}a^2+bc=\frac{1}{4}\\b(a+d)=1\\c(a+d)= 0\\bc+d^2=\frac{1}{4}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=1\\c=0\\d=\frac{1}{2 }\end{cases} $ hoặc $\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=-1\\c=0\\d=-\frac{1}{2}\end{cases} $.
vậy $A=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array} \right] $ hoặc $A=\left[ \begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array} \right] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kynamsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-08-2011, 05:24 PM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi kynamsp View Post
Câu 4: Tính $A^{2010} $ với
$A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $

Câu 6: Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1x^{n-1} +...+ a_{n-1}x +1 \in \Large\mathbb{R} $ có $n $ nghiệm thực phân biệt và $a_i \ge \ 0, \forall i = 1, ... , n-1 $. Chứng minh rằng:
$ P(2010) \ge \ 2011^n $
Câu 4 thì chắc là chéo hoá xong rồi làm từ từ là ra, quan trọng là thuộc công thức!

Câu 6 thì có thể làm thế này!
Gọi n nghiệm của đa thức đã cho là $x_1,x_2,x_3,...,x_n $.
Theo định lí Viete thì $(-1)^n.x_1.x_2...x_n = 1 $, mà các nghiệm này đều không âm nên n là số chẵn, suy ra $x_1.x_2...x_n = 1 $.
Ta viết đa thức $P(x) $ dưới dạng:
$P(x) = \prod_{1 \le i \le n}(x-x_i) =(-1)^n \prod_{1 \le i \le n}(-x-x_i) = \prod_{1 \le i \le n}(x+x_i) $.

Ta cần chứng minh
$P(2010) \ge 2011^n \Leftrightarrow \prod_{1 \le i \le n}(2010+x_i) \ge 2011^n $.

Đến đây dùng phương pháp quy nạp chứng minh rằng với a là số dương bất kì và $x_1,x_2,x_3,...,x_n \ge 0 $ thì:
$\prod_{1 \le i \le n}(a+x_i) \ge \left(a+ \sqrt[n]{\prod_{1 \le i \le n}x_i} \right)^n $
Do $x_1.x_2...x_n = 1 $ nên dễ thấy đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
MathForLife (05-02-2012), thieu_dhsp (16-03-2013)
Old 29-08-2011, 01:51 PM   #4
kynamsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 78
Thanked 65 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Câu 4 thì chắc là chéo hoá xong rồi làm từ từ là ra, quan trọng là thuộc công thức!

Câu 6 thì có thể làm thế này!
Gọi n nghiệm của đa thức đã cho là $x_1,x_2,x_3,...,x_n $.
Theo định lí Viete thì $(-1)^n.x_1.x_2...x_n = 1 $, mà các nghiệm này đều không âm nên n là số chẵn, suy ra $x_1.x_2...x_n = 1 $.
Ta viết đa thức $P(x) $ dưới dạng:
$P(x) = \prod_{1 \le i \le n}(x-x_i) =(-1)^n \prod_{1 \le i \le n}(-x-x_i) = \prod_{1 \le i \le n}(x+x_i) $.

Ta cần chứng minh
$P(2010) \ge 2011^n \Leftrightarrow \prod_{1 \le i \le n}(2010+x_i) \ge 2011^n $.

Đến đây dùng phương pháp quy nạp chứng minh rằng với a là số dương bất kì và $x_1,x_2,x_3,...,x_n \ge 0 $ thì:
$\prod_{1 \le i \le n}(a+x_i) \ge \left(a+ \sqrt[n]{\prod_{1 \le i \le n}x_i} \right)^n $
Do $x_1.x_2...x_n = 1 $ nên dễ thấy đpcm.
thank anh bằng. Mấy bác bro vào giải giúp em mấy câu còn lại
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kynamsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-02-2012, 11:20 AM   #5
hue
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 22
Thanks: 6
Thanked 3 Times in 2 Posts
Bac novae chỉ cho e gõ như thế nào mới được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-02-2012, 12:25 PM   #6
hoa anh đào
+Thành Viên+
 
hoa anh đào's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm
Bài gởi: 45
Thanks: 10
Thanked 0 Times in 0 Posts
Câu 4: theo mình nghĩ thì bằng cách tinh $A^2,A^3,A^4 $ Rồi tìm ra quy luật của nó thế là tinh được A^2010.Mà có thể tính số mũ lớn hơn tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hoa anh đào is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-02-2012, 02:35 PM   #7
congbang_dhsp
+Thành Viên Danh Dự+
 
congbang_dhsp's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 151
Thanks: 157
Thanked 81 Times in 51 Posts
Câu 3: RankA =2. Cột thứ nhất ta tách thành cột i và j. Cột thứ 2 thành i và aj. Cột thứ 3 là i và bj....
Câu 5: Sử dụng định thức vandemonde ta sẽ tính được xi sẽ bằng (-1)^i nhân với tổng các tích của i số bất kì.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rolling stone gathers no moss!
congbang_dhsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-02-2012, 03:33 PM   #8
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi kynamsp View Post
Câu 1
Câu 6: Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1x^{n-1} +...+ a_{n-1}x +1 \in \Large\mathbb{R} $ có $n $ nghiệm thực phân biệt và $a_i \ge \ 0, \forall i = 1, ... , n-1 $. Chứng minh rằng:
$ P(2010) \ge \ 2011^n $
Câu 6 ở trên mình đã giải sai khá nặng nề.
Xin giải lại như sau:
Do tất cả các hệ số của đa thức $P(x) $ đều không âm nên nếu $x_i $ là nghiệm của nó thì $x_i \le 0 $.
Gọi $x_1, x_2, ..., x_n $ là tất cả các nghiệm của nó.
Đặt $y_i = -x_i \ge 0 $.
Theo định lí Bézout thì đa thức này có thể phân tích được thành:
$P(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) = \prod_{i=1}^n (x+y_i) $.
Suy ra:
$P(2010) = \prod_{i=1}^n (2010+y_i) $.
Do $\prod_{i=1}^n x_i = (-1)^n $ nên $\prod_{i=1}^n y_i = 1 $.
Đến đây, áp dụng bất đẳng thức đã nêu trong post [3] thì ta có đpcm.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi congbang_dhsp View Post
Câu 3: RankA =2. Cột thứ nhất ta tách thành cột i và j. Cột thứ 2 thành i và aj. Cột thứ 3 là i và bj....
Câu 5: Sử dụng định thức vandemonde ta sẽ tính được xi sẽ bằng (-1)^i nhân với tổng các tích của i số bất kì.
Bạn Bằng có thể giải chi tiết câu 3 ra được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 05-02-2012 lúc 03:35 PM Lý do: Tự động gộp bài
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-02-2012, 05:13 PM   #9
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Bài 2 có ai tính ra $a_1a_2a_3a_4a_5.\prod_{i \neq j} (a_i-a_j) $ như mình không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 09:00 PM   #10
leminhansp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 21
Thanks: 30
Thanked 4 Times in 4 Posts
Icon4

Trích:
Nguyên văn bởi kynamsp View Post
vậy $A=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array} \right] $ hoặc $A=\left[ \begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array} \right] $
Chính xác phải là $A=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 0\end{array} \right] $ hoặc $A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array} \right] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: leminhansp, 24-02-2012 lúc 09:09 PM Lý do: chưa chính xác
leminhansp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leminhansp For This Useful Post:
klemen (26-02-2012)
Old 01-03-2012, 09:50 AM   #11
kynamsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 78
Thanked 65 Times in 40 Posts
Câu 4: Tính $A^{2010} $ với
$A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $
Đặt B = A-(1-i) $= \left[ \begin{array}{ccc} 2+i & -5\\1 & -2+i\end{array} \right] $. do det(B)=0 nên rankB nhỏ hơn hoặc bằng 1 suy ra $B^2=Tr(B)B=2iB $. bằng quy nạp suy ra: $B^k=(2i)^{k-1}B $. do đó sử dụng khai triển nhị thức new tơn ta suy ra được$A^n=.... $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kynamsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:59 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 84.77 k/96.87 k (12.49%)]