|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
26-08-2011, 02:50 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts | Đề chọn đội tuyển sinh viên Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai $A $ thoả mãn $A^2 -A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \right] $ Câu 2: Tính định thức sau: $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ a_1^2+a_2 & a_2^2+a_2 & a_3^2+a_3 & a_4^2+a_4 & a_5^2+a_5 \\ a_1^3+a_1^2 & a_2^3+a_2^2 & a_3^3+a_3^2 & a_4^3+a_4^2 & a_5^3+a_5^2 \\ a_1^4+a_1^3 & a_2^4+a_2^3 & a_3^4+a_3^3 & a_4^4+a_4^3 & a_5^4+a_5^3 \\ a_1^5+a_1^4 & a_2^5+a_2^4 & a_3^5+a_3^4 & a_4^5+a_4^4 & a_5^5+a_5^4 \end{vmatrix} $ Câu 3: Tìm hạng ma trận $A = [a_i_j] $ vuông cáp 7 xác định bởi: $a_i_j = i - 2010j, \forall j= 1,...,7 \forall j= 1,...,7 $ Câu 4: Tính $A^{2010} $ với $A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $ Câu 5: Cho các $a_1, a_2, a_3, a_4,a_5, a_6 $ là các số thực đôi một khác nhau. Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} a_1^5x_1 +a_1^4x_2+a_1^3x_3+a_1^2x_4 +a_1x_5 +x_6=-a_1^6\\a_2^5x_1 +a_2^4x_2+a_2^3x_3+a_2^2x_4 +a_2x_5 +x_6=-a_2^6\\a_3^5x_1 +a_3^4x_2+a_3^3x_3+a_3^2x_4 +a_3x_5 +x_6=-a_3^6\\a_4^5x_1 +a_4^4x_2+a_4^3x_3+a_4^2x_4 +a_4x_5 +x_6=-a_4^6\\a_5^5x_1 +a_5^4x_2+a_5^3x_3+a_5^2x_4 +a_5x_5 +x_6=-a_5^6\\a_6^5x_1 +a_6^4x_2+a_6^3x_3+a_6^2x_4 +a_6x_5 +x_6=-a_6^6\end{cases} $ Câu 6: Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1x^{n-1} +...+ a_{n-1}x +1 \in \Large\mathbb{R} $ có $n $ nghiệm thực phân biệt và $a_i \ge \ 0, \forall i = 1, ... , n-1 $. Chứng minh rằng: $ P(2010) \ge \ 2011^n $ |
The Following 5 Users Say Thank You to kynamsp For This Useful Post: | franciscokison (27-08-2011), huynhcongbang (26-08-2011), MathForLife (05-02-2012), ngocson_dhsp (14-02-2012), thieu_dhsp (16-03-2013) |
26-08-2011, 03:52 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts | Trích:
lại đặt $ Y=\left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d\end{array} \right] \Rightarrow Y^2=\left[ \begin{array}{ccc} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{array} \right] \Rightarrow \begin{cases}a^2+bc=\frac{1}{4}\\b(a+d)=1\\c(a+d)= 0\\bc+d^2=\frac{1}{4}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=1\\c=0\\d=\frac{1}{2 }\end{cases} $ hoặc $\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=-1\\c=0\\d=-\frac{1}{2}\end{cases} $. vậy $A=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array} \right] $ hoặc $A=\left[ \begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array} \right] $ | |
26-08-2011, 05:24 PM | #3 | |
Administrator | Trích:
Câu 6 thì có thể làm thế này! Gọi n nghiệm của đa thức đã cho là $x_1,x_2,x_3,...,x_n $. Theo định lí Viete thì $(-1)^n.x_1.x_2...x_n = 1 $, mà các nghiệm này đều không âm nên n là số chẵn, suy ra $x_1.x_2...x_n = 1 $. Ta viết đa thức $P(x) $ dưới dạng: $P(x) = \prod_{1 \le i \le n}(x-x_i) =(-1)^n \prod_{1 \le i \le n}(-x-x_i) = \prod_{1 \le i \le n}(x+x_i) $. Ta cần chứng minh $P(2010) \ge 2011^n \Leftrightarrow \prod_{1 \le i \le n}(2010+x_i) \ge 2011^n $. Đến đây dùng phương pháp quy nạp chứng minh rằng với a là số dương bất kì và $x_1,x_2,x_3,...,x_n \ge 0 $ thì: $\prod_{1 \le i \le n}(a+x_i) \ge \left(a+ \sqrt[n]{\prod_{1 \le i \le n}x_i} \right)^n $ Do $x_1.x_2...x_n = 1 $ nên dễ thấy đpcm. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | MathForLife (05-02-2012), thieu_dhsp (16-03-2013) |
29-08-2011, 01:51 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts | Trích:
| |
05-02-2012, 11:20 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 22 Thanks: 6 Thanked 3 Times in 2 Posts | Bac novae chỉ cho e gõ như thế nào mới được |
05-02-2012, 12:25 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm Bài gởi: 45 Thanks: 10 Thanked 0 Times in 0 Posts | Câu 4: theo mình nghĩ thì bằng cách tinh $A^2,A^3,A^4 $ Rồi tìm ra quy luật của nó thế là tinh được A^2010.Mà có thể tính số mũ lớn hơn tùy ý. |
05-02-2012, 02:35 PM | #7 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 151 Thanks: 157 Thanked 81 Times in 51 Posts | Câu 3: RankA =2. Cột thứ nhất ta tách thành cột i và j. Cột thứ 2 thành i và aj. Cột thứ 3 là i và bj.... Câu 5: Sử dụng định thức vandemonde ta sẽ tính được xi sẽ bằng (-1)^i nhân với tổng các tích của i số bất kì. __________________ |
05-02-2012, 03:33 PM | #8 | |
Administrator | Trích:
Xin giải lại như sau: Do tất cả các hệ số của đa thức $P(x) $ đều không âm nên nếu $x_i $ là nghiệm của nó thì $x_i \le 0 $. Gọi $x_1, x_2, ..., x_n $ là tất cả các nghiệm của nó. Đặt $y_i = -x_i \ge 0 $. Theo định lí Bézout thì đa thức này có thể phân tích được thành: $P(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) = \prod_{i=1}^n (x+y_i) $. Suy ra: $P(2010) = \prod_{i=1}^n (2010+y_i) $. Do $\prod_{i=1}^n x_i = (-1)^n $ nên $\prod_{i=1}^n y_i = 1 $. Đến đây, áp dụng bất đẳng thức đã nêu trong post [3] thì ta có đpcm. ------------------------------ Bạn Bằng có thể giải chi tiết câu 3 ra được không? __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 05-02-2012 lúc 03:35 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
05-02-2012, 05:13 PM | #9 |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Bài 2 có ai tính ra $a_1a_2a_3a_4a_5.\prod_{i \neq j} (a_i-a_j) $ như mình không? __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... |
24-02-2012, 09:00 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 21 Thanks: 30 Thanked 4 Times in 4 Posts | Chính xác phải là $A=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 0\end{array} \right] $ hoặc $A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array} \right] $ thay đổi nội dung bởi: leminhansp, 24-02-2012 lúc 09:09 PM Lý do: chưa chính xác |
The Following User Says Thank You to leminhansp For This Useful Post: | klemen (26-02-2012) |
01-03-2012, 09:50 AM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts | Câu 4: Tính $A^{2010} $ với $A = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5\\1 & -1\end{array} \right] $ Đặt B = A-(1-i) $= \left[ \begin{array}{ccc} 2+i & -5\\1 & -2+i\end{array} \right] $. do det(B)=0 nên rankB nhỏ hơn hoặc bằng 1 suy ra $B^2=Tr(B)B=2iB $. bằng quy nạp suy ra: $B^k=(2i)^{k-1}B $. do đó sử dụng khai triển nhị thức new tơn ta suy ra được$A^n=.... $ |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|