Vài bài đại số đại cương

[lamphong177]

Bài 1:a) chứng minh rằng một nửa nhóm khác rỗng, hữu hạn là một nhóm khi và chỉ khi phép toán tương ứng có tính giản ước. chỉ ra rằng điều kiện hữu hạn không thể bỏ được.
b)chứng minh rằng mọi tập con khác rỗng, hữu hạn, kín đối với phép toán tương ứng trong một nhóm đều là các nhóm con của nhóm đó.

bài 2: cho nhóm $(G,.) $ hữu hạn và $H,K $ là 2 nhóm con của $G $. chứng minh rằng $|HK||H\cap K|=|H||K| $

bài 3: giả sử $G $ là một nhóm con Abel có cấp 1111 trong $S_{999} $. chứng minh rằng tồn tại $i \in {1,2,...,999} $ sao cho $\sigma(i)=i $
trích "Đại số đại cương"- Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lamphong177]

Bài 2: Thiết lập một ánh xạ $f:H \times K \rightarrow HK $ xác định bởi
$f: (h,k) \rightarrow hk $
Rõ ràng $f $ toàn ánh.
Ta chứng minh rằng với mọi $x \in HK $, $|f^{-1}(x)|=|H \cap K $ với $f^{-1}(x)=\{(h,k) \in H \times K: f(k,h)=x \} $
Nếu $x=hk $ thì:
$f^{-1}(x)=\{(hd,d^{-1}k): d \in H \cap K \} $
$(hd, d^{-1}k) \in f^{-1}(x) $ bởi $f(hd,d^{-1}k)=hdd^{-1}=hk=x $.
Đảo lại, cho $(h',k') \in f^{-1}(x) $ sao cho $h'k'=hk $. khi đó,$h^{-1}h'=kk'^{-1} \in H \cap K $, gọi phần tử này là $d $. khi đó, $h'=hd $ và $k'=a^{-1}k $, và do đó, $(h',k') $ nằm bên phải. Do đó,
$|f^{-1}(x)|=|\{(hd, d^{-1}k): d \in H \cap K \}|=|H \cap K| $
vì $d \rightarrow (hd,d^{-1}k) $ là một song ánh.
Nguồn lời giải: A First Course in Abstract Algebra_ 3rd Edition - Joselp Rotman
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Santosa_IQ]

Nguyên văn bởi lamphong177

Bài 1:a) chứng minh rằng một nửa nhóm khác rỗng, hữu hạn là một nhóm khi và chỉ khi phép toán tương ứng có tính giản ước. chỉ ra rằng điều kiện hữu hạn không thể bỏ được.

Xét nửa nhóm X khác rỗng, hữu hạn: $X={ x_1, x_2, ..., x_n } $
$(\Rightarrow): $ X là 1 nhóm. Hiển nhiên phép toán trong X có tính giản ước.
$(\Leftarrow): $ Phép toán trong X có tính giản ước.
Nên: $x_i \not= x_j \Rightarrow x_kx_i \not= x_kx_j $
$\Rightarrow x_kX $ là 1 bộ phận của X gồm n phần tử phân biệt. $\Rightarrow x_kX=X $
Cm tương tự suy ra $Xx_k=X $ với mọi $x_k \in X $
Vậy ta có: $x_kX=Xx_k=X $ với mọi $x_k \in X $
$\Rightarrow x_k \in x_kX \Rightarrow \exists e\in X: x_k=x_ke $. Điều này đúng với mọi x trong X.
Do e cũng thuộc $x_kX $ nên $\exists x' \in X: xx'=e $
Vậy X là 1 nhóm.
Ta có đpcm.
* Nếu X không hữu hạn: $x_kX \not= X $. Khi đó nửa nhóm X không là 1 nhóm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]