Đề tuyển sinh Chuyên Toán PTNK 2013 - 2014

[vô tình]

Câu I:
Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.
Câu II:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$
Câu III:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.
a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.
b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Câu IV:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Câu V:
Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.
Câu IV:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]