|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-01-2014, 01:54 PM | #16 |
+Thành Viên+ | Em có cách này, không biết đúng không b. Ta đánh số 24 đỉnh được tô màu xanh là $1,2,...,24$ Gọi $a_i$ là khoảng cách giữa đỉnh $i$ và đỉnh $i+1$ ($i=24$ thì $i+1=1$) với đơn vị là $\frac{2}{13} \pi$ Ta có: $a_1+.a_2+..+a_{24}=103$ Có $C_{24}^{10}$ cách chọn ra 10 số không có giá trị là $1$ $10$ số này có tổng là $89$ và luôn lớn hơn hoặc bằng $2$ Từ đây đưa về bài toán chia kẹo Euler ta suy ra có $C_{78}^{9}$ cách chọn Ngoài ra, có 24 phép quay biến đỉnh thứ $1$ thành các đỉnh thứ $2,...,24$ mà cấu hình đều giống nhau Vậy có tổng cộng $\frac{C_{24}^{10}.C_{78}^{9}}{24}$ cách tô thoả mãn ycđb |
The Following User Says Thank You to hoangqnvip For This Useful Post: | thaygiaocht (03-01-2014) |
03-01-2014, 03:47 PM | #17 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Bài gởi: 5 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
| |
03-01-2014, 08:16 PM | #18 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: White House - A1K39PBC Bài gởi: 27 Thanks: 78 Thanked 15 Times in 7 Posts | Bài này mình cũng có ý tưởng như a huynhcongbang, kq cũng giống. Cách đưa về btoán chia kẹo Ơle giải đc cả 2 câu luôn. Dùng pt này giải câu a rất nhanh . Câu b mình cũg trùg kq vs a huynhcongbang |
03-01-2014, 08:37 PM | #19 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Bài gởi: 86 Thanks: 44 Thanked 70 Times in 34 Posts | |
03-01-2014, 10:10 PM | #20 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Câu a: giả sử ta tô màu xanh 24 đỉnh là $1\le a_1 < a_2 < ... <a_{24}\le 103 $. Khi đó đặt $b_i = a_{i+1}-a_{i}\ge 1 $ với $1\le i\le 23 $ và $b_{24} = 103 + a_1 - a_{24}\ge 1 $. Ta có đẳng thức: $b_1 + b_2 + \cdots+b_{24} = 103 $. Nhận xét rằng số giữa hai điểm xanh $a_i $ và $a_{i+1} $ thì có $b_i-1 $ điểm đỏ và từ $b_i-1 $ điểm đỏ này sẽ cho ta $b_i-2 $ cặp đỏ-đỏ nếu $b_i\ge 2 $ và cho ta 0 cặp đỏ-đỏ nếu $b_i\le 1 $. Do đó nếu có $K $ số $b_i = 1 $ thì có $0\le K\le 23 $ $24-K $ số $b_i\ge 2 $. Số cặp đỏ là $\sum\limits_{b_i\ge 2}b_i-2 = \sum\limits_{b_i\ge 2}b_i - 2(24-K) = \sum\limits_{b_i\ge 1}b_i - \sum\limits_{b_i=1}b_i -2(24-K) = 103 - K - 2(24-K) = 55 + K $. Ngược lại với mỗi $0\le K\le 24 $ thì tồn tại $b_1,b_2,...,b_{24} $ thỏa mãn có đúng $K $ số bằng 1 và tổng tất cả bằng 103. Ví dụ $b_{i} = 1 $ với $1\le i\le K $, $b_{i} = 2 $ với $K+1\le i\le 23 $ và $b_{24} = 57+K $. Vậy ta có số cặp đỏ-đỏ và xanh-xanh luôn có dạng $(55+K,K) $ với $0\le K\le 23 $. Câu b: Trước hết ta tính số cách tô màu các đỉnh xanh thỏa mãn với $a_1 = 1, a_{24} = 103 $. Khi đó ta có $b_1 + b_2 + \cdots +b_{23} = a_{24}-a_{1} = 102 $. Từ điều kiện có đúng 14 cặp xanh-xanh nên ta có trong 23 số $b_i $ có đúng 13 số bằng 1. Số cách chọn $13 $ số này là $\binom{23}{13} = \binom{23}{10} $. Số cách chọn 10 số còn lại là $\binom{102-23-1}{10-1} = \binom{78}{9} $. Lại có với mỗi cách tô màu sao cho có 14 cặp xanh-xanh thì bằng cách xoay quanh tâm ta có có đúng 14 cách tô màu sao cho $a_1=1,a_{24} = 103 $. Việc còn lại là chứng minh với mọi cách tô thì việc quay quanh tâm không trùng với chính nó. Giả sử ngược lại thì ta có tồn lại các số nguyên dương $1\le l \le 102 $ sao cho hai tập $X = \{a_1,a_2,\dots a_{24}\} $ và $Y = \{a_1+l,a_2 + l,...,a_{24} + l\} \pmod {103} $ trùng nhau. Khi đó ta có $\sum\limits_{i=1}^{24}(a_i + l)\equiv \sum\limits_{i=1}^{24}a_i \pmod {103} $ suy ra $24l\equiv 0\pmod {103} $. Điều này không xảy ra với $1\le l\le 102 $. Từ tất cả nhận xét trên thì số cách tô màu thỏa mãn bài toán là: $\frac{\binom{23}{10}\binom{78}{9}}{14} = \frac{\binom{23}{9}\binom{78}{9}}{10} = \frac{\binom{24}{10}\binom{78}{9}}{24} $ __________________ Traum is giấc mơ. thay đổi nội dung bởi: Traum, 03-01-2014 lúc 10:24 PM |
The Following 3 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post: |
03-01-2014, 10:27 PM | #21 |
Administrator | Vậy là bài tổ hợp có thể tự tin với kết quả là $\frac{C_{78}^9 C_{23}^9}{10}$ rồi. Các cách khác cũng áp dụng các bước sắp xếp nhưng theo thứ tự khác nên biểu thức cũng hơi khác thôi, đều cùng kết quả cả. Mình xin share một cách phân tích trên trang Sputnik Education, mọi người tham khảo thử nhé! Bài 3. Câu a khá là đơn giản. Số đỉnh màu xanh là 24 đỉnh = 103 - 79. Nếu tất cả các đỉnh đỏ chụm thành 1 cụm thì A = 78, nếu bị cắt ahfnh 2 cụm thì A = 77 và cứ thế: tức là nếu có k cụm (mỗi cụm là các đỉnh cùng màu đỏ đứng sát nhau) thì A = 79-k. Nếu có k cụm đủ thì cũng có k cụm xanh, nên B = 24-k. Các giá trị có thể của k là từ 1 đến 24, nên có 24 khả năng tất cả. Câu b khá là khó. Để có B = 14 thì k =10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm). Đếm số cách chia như thế nào ? Ta thử đánh số các cụm xanh từ 1 đến 10, bắt đầu từ 1 cụm nào đó. Gọi số phần tử của 10 cụm đó (theo thứ tự vòng tròn thuận chiều kim đồng hồ) là x1, ... x10. Khi đó các số y1=x1, y2=x1+x2, v.v., y9 = x1+...+x9 (y10 =24 là cố định, không tính), là các số dương khác nhau từ 1 đến 23 (không thể là 24). Có C(9,23) cách chọn 9 số đó từ 23 số. Như vậy là có C(9,23) cách chia 24 quân xanh thành 10 cụm (có xếp hàng). Tương tự như vậy, có C(9,78) cách chia quân đỏ. Nhân với nhau được C(9,23)C(9,78) Mỗi cách cho ta một cách xếp (tô màu): đầu tiên xếp cụm 1 quân xanh, rồi đến cụm 1 quân đỏ, rồi đến cụm 2 quân xanh, v.v. (Vì có thể quay vòng tròn, nên ta có thể coi "điểm bắt đầu" là điểm đầu của cụm 1 quân xanh). Vì sao 2 cách xếp khác nhau ở đây lại không trùng nhau khi quay vòng tròn ?! (Nếu chẳng may trùng nhau thì rắc rối to, phải tìm cách nào loại đi sự trùng nhau, bằng cách băm nhỏ rồi chia như thế nào đó). Nhưng may thay, số 79 là số nguyên tố nên sẽ không có hai cách nào trùng nhau ! Do vậy số cách sẽ là C(9,23)C(9,78). Nhưng có 10 cách chọn điểm bắt đầu (vì có 10 cụm quân xanh) cho cùng 1 cách tô màu, nên phải chia số C(9,23)C(9,78) cho 10, được kết quả cuối cùng là C(9,23)C(9,78)/10. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | hoangqnvip (03-01-2014), thaygiaocht (04-01-2014), vantienducdh (22-10-2014), whatever2507 (04-01-2014) |
04-01-2014, 04:14 AM | #22 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: White House - A1K39PBC Bài gởi: 27 Thanks: 78 Thanked 15 Times in 7 Posts | Anh huynhcongbang cho em hỏi vì sao lại có chia 10 nữa ạ? |
04-01-2014, 11:19 AM | #23 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 19 Thanks: 3 Thanked 1 Time in 1 Post | Cho mình hỏi là đi thi VMO có phải chứng minh lại bài toán chia kẹo của euler không? |
04-01-2014, 01:03 PM | #24 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 40 Thanks: 40 Thanked 10 Times in 9 Posts | Lời giải ý a của mình như này (tất nhiên còn thiếu sót ) không biết sẽ được bao nhiêu điểm nhỉ... Ta tô màu các cạnh của hình đa giác theo quy tắc sau
Gọi số cạnh đỏ, xanh và vàng lần lượt là a, b, c. Hiển nhiên 2 đỉnh cùng đỏ thì sẽ tạo ra 1 cạnh đỏ, nên số cặp đỉnh đỏ kề nhau bằng với số cạnh đỏ, suy ra A = a. Tương tự B = b Như vậy, số giá trị có thể nhân được của cặp (A,B) ứng với số giá trị có thể nhận được của (a,b) Ta sẽ đếm số lần xuất hiện của 1 đỉnh đỏ như là 1 đầu mút của các cạnh bằng 2 cách: Cách 1: Mỗi đỉnh đỏ thì nối với 2 cạnh nên mỗi đỉnh sẽ xuất hiện 2 lần như là 1 đầu mút. Có 79 đỉnh đỏ suy ra số lần xuất hiện là 79.2 = 158 Cách 2: Mỗi cạnh đỏ thì có 2 đầu mút đỏ Mỗi cạnh vàng thì có 1 đầu mút đỏ Mỗi cạnh xanh thì không có đầu mút màu đỏ nào Như vậy số lần xuất hiện là 2a + c Từ những lập luận trên suy ra 2a + c = 158 Tương tự với đỉnh xanh có 2b + c = 2(103-79) = 48 Suy ra $a = 79 - \frac{c}{2}$ và $b = 24 - \frac{c}{2}$ Vì a, b là số tự nhiên nên $0 \le c \le 48$ và c chẵn tương đương c có 25 giá trị Với mỗi c thì ứng với 1 giá trị (a,b) nên có tất cả 25 cặp giá trị có thê nhạn được của (a,b) cũng như (A,B) thay đổi nội dung bởi: bangdenas, 04-01-2014 lúc 01:05 PM |
04-01-2014, 06:06 PM | #25 |
+Thành Viên+ | b, Ta đã biết nếu gọi X là số " cụm các điểm đỏ liền nhau", thì B= 24-X Do vậy, để B=14 thì X=10 Dùng công thức nghiệm của phương trình chia kẹo Euler, ta suy ra được số cách chia 24 điểm đỏ vào 10 cụm là $C_{23}^{9} $ Đến đây làm khác mọi người một chút, ta sẽ xem xét việc xếp các điểm xanh- đỏ như là việc có sẵn 79 điểm xanh ở trên đường tròn, và ta bỏ 10 cụm điểm đỏ vào các khoảng trống giữa 2 điểm anh liên tiếp, mỗi khoảng có tối đa 1 cụm. Như vậy thì số cách chọn ra 10 khoảng trống trong 79 khoảng là $C_{79}^{10} $. Sự trùng lặp theo phép quay là ở chỗ ta chọn 10 vị trí trong 79 vị trí theo đường tròn. Nhờ có $(79,10)=1 $ mà ta không phải lo về các "cấu hình lộn xộn " , mỗi cách tô bị lặp đúng 79 lần, do vậy, đáp số là $\frac{C_{79}^{10}.C_{23}^{9}}{79} $ __________________ Quay về với nơi bắt đầu |
The Following 2 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post: | hungvu (04-01-2014), huynhcongbang (04-01-2014) |
Bookmarks |
|
|