Phương trình nghiệm nguyên

..... · 07-01-2011, 10:08 PM

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x;n) $ thỏa mãn phương trình

$x^3+2x+1=2^n $

winwave · 07-01-2011, 11:12 PM

Trích:

Nguyên văn bởi .....

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x;n) $ thỏa mãn phương trình

$x^3+2x+1=2^n $

trước hết ta thấy $(1,1) $ là nghiệm
xét x,n >1
nếu x>1 thì n>1
$n>1 -> x^3+2x+1 $ chia hết cho 4 , x>1 ta có 2x chia hết cho 4 mà $x^3+1=(x+1)[x(x-1)+1] $ không chia hết cho 4 . Vô lí vậy chỉ có bộ nghiệm (1,1)

..... · 08-01-2011, 11:37 AM

Trích:

Nguyên văn bởi winwave

trước hết ta thấy $(1,1) $ là nghiệm
xét x,n >1
nếu x>1 thì n>1
$n>1 -> x^3+2x+1 $ chia hết cho 4 , x>1 ta có 2x chia hết cho 4 mà $x^3+1=(x+1)[x(x-1)+1] $ không chia hết cho 4 . Vô lí vậy chỉ có bộ nghiệm (1,1)

Lời giải của bạn không ổn chút nào...

NguyenNhatTan · 08-01-2011, 12:07 PM

Với $n \leq 2 \Rightarrow (x;n)=(1;2) $
Với $n \geq 3 $. Suy ra x lẻ và n chẵn
Từ PT $\Rightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=2^{n}+2 $
Giả sử p là 1 ước nguyên tố của $x^{2}-x+3 $. Do đó:
$1=\left ( \frac{-2}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} $
Suy ra $p=8k+1 \vee 8k+3 (k \in N) $
Có: $x^{3}+2x+1 \equiv 0 (mod 8) \Rightarrow x \equiv 5 (mod 8) \Rightarrow x^{2}-x+3 \equiv 7 (mod 8) $ (vô lí)
Vậy $(x;n)=(1;2) $

**n.v.thanh** · 08-01-2011, 01:15 PM

Trích:

[Only registered and activated users can see links. ]

Bài này là Serbia 2007 TST....Hay phết đấy!

abacadaeafag · 08-01-2011, 02:57 PM

Trích:

Nguyên văn bởi NguyenNhatTan

$\left( \frac{-2}{p} \right ) $

P/s: Ghi như thế nghĩ là sao nhỉ

**n.v.thanh** · 08-01-2011, 03:02 PM

Hình như ý bạn ý là nói về thặng dư bậc 2.Kí hiệu Lengendre

daylight · 08-01-2011, 05:49 PM

Trích:

Nguyên văn bởi winwave

trước hết ta thấy $(1,1) $ là nghiệm
xét x,n >1
nếu x>1 thì n>1
$n>1 -> x^3+2x+1 $ chia hết cho 4 , x>1 ta có 2x chia hết cho 4 mà $x^3+1=(x+1)[x(x-1)+1] $ không chia hết cho 4 . Vô lí vậy chỉ có bộ nghiệm (1,1)

Lời giải này đúng rồi mà chỉ tội thiếu sốt 1 chút .

chỉ cần xét x chẵn và lẻ là xong

07-01-2011, 10:08 PM	#1
..... +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Phu Yen Bài gởi: 3 Thanks: 16 Thanked 2 Times in 1 Post	Phương trình nghiệm nguyên Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x;n) $ thỏa mãn phương trình $x^3+2x+1=2^n $

08-01-2011, 12:07 PM	#4
NguyenNhatTan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: THPT Lào Cai 1 Bài gởi: 202 Thanks: 30 Thanked 246 Times in 122 Posts	Với $n \leq 2 \Rightarrow (x;n)=(1;2) $ Với $n \geq 3 $. Suy ra x lẻ và n chẵn Từ PT $\Rightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=2^{n}+2 $ Giả sử p là 1 ước nguyên tố của $x^{2}-x+3 $. Do đó: $1=\left ( \frac{-2}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} $ Suy ra $p=8k+1 \vee 8k+3 (k \in N) $ Có: $x^{3}+2x+1 \equiv 0 (mod 8) \Rightarrow x \equiv 5 (mod 8) \Rightarrow x^{2}-x+3 \equiv 7 (mod 8) $ (vô lí) Vậy $(x;n)=(1;2) $ __________________ Tớ sẽ cố gắng ...... vì cậu

08-01-2011, 03:02 PM	#7
n.v.thanh Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts	Hình như ý bạn ý là nói về thặng dư bậc 2.Kí hiệu Lengendre Tên chuối quá,đặt Lagrange cho nó lành