Topic về bất đẳng thức

[truytimmattroi]

Nguyên văn bởi 353535

Có thể sử dụng MINCOPSKI :

Mình học bất hơi kém,nghĩ nát óc mà không biết phải đánh giá bài 2 bằng bđt Mincopski thế nào hay có phương pháp nào khác
Mong được mọi nguời giúp đỡ,
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asd257]

Cho a,b,c >0, chứng minh :
$( \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} ) ^2 \geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[plasa88]

Cho x, y là 2 số thực thỏa $xy>0 $. Chứng minh :
$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[horizon_ah]

Nguyên văn bởi asd257

Cho a,b,c >0, chứng minh :
$( \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} ) ^2 \geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}) $

Bât đẳng thức tương đương với :
$(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))^2 \ge 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $
$\leftrightarrow \sum a^2b^2(a+b)^2 + 2abc( \sum a(a+b)(a+c)) \ge 4(a^3b^3+abc \sum\limits_{sym} {{a^2}b} ) $
theo BDT AM-GM thì $\sum a^2b^2(a+b)^2 \ge 4a^3b^3 $
Theo BDT Schur thì $\sum a^3+ 3abc \ge \sum\limits_{sym} {{a^2}b} $
Do đó $2abc( \sum a(a+b)(a+c)) \ge abc ( \sum\limits_{sym} {{a^2}b} ) $
Vậy BDT được chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[king_math96]

Nguyên văn bởi plasa88

Cho x, y là 2 số thực thỏa $xy>0 $. Chứng minh :
$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} $

$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)} $$+
\frac{(x-y)^2}{\sqrt{2}.(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy})} $
$\geq 0 $
<=> $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy} \leq \sqrt{2}.(x+y). $
luôn đúng theo cauchy-schwarz.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[king_math96]

Nguyên văn bởi 353535

2) Cho 3 số dương a,b,c có a+b+c=1.Tìm MAX của:
$A=ab+ac+bc+ \frac{5}{2}[(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}] $

$<=> ab+bc+ca +\frac{5}{2}[(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}] \leq 2(a+b+c)^2 $
$<=> 5(a+b)\sqrt{ab}+5(b+c)\sqrt{bc}+5(c+a)\sqrt{c+a} \leq 4a^2+4b^2+4c^2+6(ab+bc+ca). $
ta sẽ Cm:
$2a^2+2b^2+6ab \geq 5(a+b)\sqrt{ab} $
$<=>2(a+b)^2+2ab \geq \5(a+b)\sqrt{ab} $
Áp dụng AM-Gm ta có:

$2(a+b)^2+2ab \geq 5 \sqrt[5]{\frac{(a+b)^8.ab}{8}} \geq \5(a+b)\sqrt{ab}. $
=> ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

Nguyên văn bởi legend

Cho a, b, c là các số thực thuộc [-1;1] thỏa: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\le 2abc+1 $. (1)
CMR:
$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}\le 2a^{n}b^{n}c^{n}+1 $

Cm theo qui nạp giả sử bdt đúng đến (2n)
giả sử $a^2 \geq b^2 \geq c^2 => a^{2n} \leq b^{2n} \leq c^{2n} $
theo chepbusep $a^{2n}a^2+b^{2n}b^2+c^{2n}c^2 \leq \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}) $
từ giả thiết (1) và giả thiết qui nạp đưa đpcm về
$(2x+1)(2x^{n}+1) \leq 3(2x^{n+1}+1) $hay
$(x-1)(x^n-1)\ge 0 $ với $abc=x $, đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abacadaeafag]

Cách này giống hệt cách làm trên TTT
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asd257]

Cho a,b,c là các số thực không âm sao cho a+b+c= 1,
CM : $ \frac{25}{27} \leq (1-4ab)^2 +(1-4bc)^2 +(1-4ca)^2 \leq 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[353535]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \le 16 (a+b+c) $
CMR:
$\sum\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3} \le \frac{8}{9} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[353535]

Với mỗi số nguyên dương n.Kí hiệu $S_n $ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển thành đa thức của biểu thức $(1+x)^n $
CMR với mọi số nguyên dương n,$S_{2n} +1 $ ko chia hết cho 3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asd257]

Cho a,b,c là các số thực dương, tìm min :
$P = \frac{\sqrt{a^3c}}{\sqrt{b^3a}+bc} + \frac{\sqrt{b^3a}}{\sqrt{c^3b}+ca}+ \frac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+ab} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Có:
$a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}} \geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}} $

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^{3}} \leq \frac{2}{27(a+b)(a+c)} $

Do đó:

$\sum\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3} \leq \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)} $ (*)

Mặt khác:

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) $

Nên từ (*) suy ra:

$\sum\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3} \leq \frac{1}{6(ab+bc+ca)} $

Lại có: $(ab+bc+ca)^{2} \geq 3abc(a+b+c) $
Nên:

$16(a+b+c) \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca} $

Suy ra $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} $ (**)

Từ (*),(**) suy ra ĐPCM
Dâu "=" xảy ra <=>a=b=c=1/4
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

đây là 2 bài trong đề thi VN TST 2010
vào [Only registered and activated users can see links. ] để down tài liệu của thầy Dũng trong đó có lời giải 6 bài TST
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[gigamen]

Nguyên văn bởi asd257

Cho a,b,c là các số thực dương, tìm min :
$P = \frac{\sqrt{a^3c}}{\sqrt{b^3a}+bc} + \frac{\sqrt{b^3a}}{\sqrt{c^3b}+ca}+ \frac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+ab} $

Đặt $\frac{a}{b}=x^2;\frac{b}{c}=y^2;\frac{c}{a}=z^2 => xyz=1 $, và

$VT=\sum \frac{x^3}{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}}= \sum \frac{x^2}{y+z}\ge \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]