Lại là hệ

[quanth]

$sqrt{1+x_1}+sqrt{1+x_2}...sqrt{1+x_n} $=$n.(sqrt{(n+1)/n $
$sqrt{1-x_1}+sqrt{1-x_2}...sqrt{1-x_n} $=$n.(sqrt{(n-1)/n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tvdaikg]

$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^3 = 1 - 3xy\\x^{2004} + y^{2004} = \frac{1}{{2^{2003} }}\end{array}\right. $
Ta có, $x^3 + y^3 = 1 - 3xy\Leftrightarrow(x + y - 1)[(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (x - y)^2 ] =0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x + y = 1\\x=y=-1\end{array}\right. $
* x = y = -1 không là nghiệm của hệ.
*x + y = 1 hay y = 1 - x. Xét $f(t)=t^n+(1-t)^n ,n\ge 2 $
Ta có $f^{/}(t)=nt^{n-1}-n(1-t)^{n-1} $ nên f'(t) = 0 kvck t=1/2.
Lập BBT của f(t) ta được $f(t)\ge\frac{1}{{2^{n-1}}} $
và đẳng thức xảy ra KVCK t = 1/2. Do đó hệ đã cho có duy nhất một cặp nghiệm là (1/2 ; 1/2).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi demon

đặt t=$(\sqr{x^2+1}-x)^5 $
Phương trình trở thành $t $+$\frac{1}{t} $=123
là phương trình bậc hai

làm tiếp như thế nào ? reamer:reamer:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nhiên]

Nguyên văn bởi demon

đặt t=$(\sqr{x^2+1}-x)^5 $
Phương trình trở thành $t $+$\frac{1}{t} $=123
là phương trình bậc hai

bạn tính tiếp xem đặt thế này là chưa ổn đâu , số lẻ công thêm giải pt sau cũng mệt đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Một bài từng post, khá hay!

Cho hệ
$\frac{x}{y}+sinx=a $
$\frac{y}{x} + siny = a $

$x,y \in (0;2\pi] $

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi quanth

${x^2+3y=9\\y^4+4(2x-3).{y^2}+155=48(x+y) $

${x^2+3y=9\\y^4+4(2x-3).{y^2}+155=48(x+y) $
$\to {y=\frac{9-x^2}{3}\\y^4+4(2x-3).{y^2}+155=48(x+y) $
$y^4+4(2x-3).{y^2}+155=48(x+\frac{9-x^2}{3}) $
$y^4+4(2x-3).{y^2}+155-48x-144+16x^2=0 $
đặt $y^2=a\geq 0 $
$\to a^2+4(2x-3)a-48x+16x^2+11=0 $
ta có $\Delta '=4(2x-3)^2+48x-16x^2-11 $
$=4(4x^2-12x+9)+48x-16x^2-11 $
$=16x^2-48x+36+48x-16x^2-11=25 $
do đó $a= -4(2x-3)\pm 5 $
đến đây xét thui
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi quanth

$\{\sqrt{1+x_1}+sqrt{1+x_2}...+\sqrt{1+x_n}=n\sqrt{ \frac{n+1}{n}}\\\sqrt{1-x_1}+sqrt{1-x_2}...+\sqrt{1-x_n}=n\sqrt{\frac{n-1}{n} $

Chả biết em làm đúng ko ạ
$n\in N* $
Ta có:$\{n.\sqrt{\frac{n+1}{n}}=\sqrt{1+x_1}+sqrt{1+x_2}. ..+\sqrt{1+x_n}\leq n+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}\\n\sqrt{\frac{n-1}{n}}=\sqrt{1-x_1}+sqrt{1-x_2}...+\sqrt{1-x_n}\leq n-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2} $
$\{n.\sqrt{\frac{n+1}{n}}\leq n+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}\\n\sqrt{\frac{n-1}{n}}\leq n-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2} $
$\to \sqrt{\frac{n+1}{n}}+\sqrt{\frac{n-1}{n}}\leq 2 $
$\to 2+2\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}\leq 4 $
$\to 2\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}\leq 2 $
$\to n(n-1)\leq 1 $
$\to n(n-1)=0\to n=1\to x=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mercury]

Nguyên văn bởi John Cena

Giải hệ:$\{ x^{3}-8x=y^{3}+2y \\ x^{2}-3=3(y^{2}+1) $

$\{ x^{3}-8x=y^{3}+2y \\ x^{2}-3=3(y^{2}+1) $
$\to \{ x^{3}-8x=y(y^2+2) \\ x^{2}=3(y^{2}+2) $
$\to \{ 3x^{3}-24x=3y(y^2+2) \\ x^{2}y=3y(y^{2}+2) $
$\to 3x^{3}-24x=x^{2}y $
$\to 3x^{3}-x^2y-24x=0 $
$\to x(3x^2-xy-24)=0 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Nguyên văn bởi Mercury

Chả biết em làm đúng ko ạ
$n\in N* $
Ta có:$\{n.\sqrt{\frac{n+1}{n}}=\sqrt{1+x_1}+sqrt{1+x_2}. ..+\sqrt{1+x_n}\leq n+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}\\n\sqrt{\frac{n-1}{n}}=\sqrt{1-x_1}+sqrt{1-x_2}...+\sqrt{1-x_n}\leq n-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2} $
$\{n.\sqrt{\frac{n+1}{n}}\leq n+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}\\n\sqrt{\frac{n-1}{n}}\leq n-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2} $
$\to \sqrt{\frac{n+1}{n}}+\sqrt{\frac{n-1}{n}}\leq 2 $
$\to 2+2\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}\leq 4 $
$\to 2\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}\leq 2 $
$\to n(n-1)\leq 1 $
$\to n(n-1)=0\to n=1\to x=0 $

Sai rồi.
Thử $x_1=...=x_n=\frac{1}{n} $ là thấy.:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conga1qt]

Nguyên văn bởi demon

$x^2 $+$y^2 $+$(\frac{xy+1}{x+y})^2 $>=2 với x+y khác 0

Đặt $ z= - \frac{1+xy}{x+y} <=> xy+yz+xz=-1 $

Dùng $ (x+y+z)^2 \geq 0 <=> x^2+y^2+z^2 \geq -2(xy+yz+xz)=2 $ (dpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tientruong29]

đang học pt nên post 1 bài cho anh em làm chơi,đơn giản thôi:
Giải phương trình:
$\sqrt x + \sqrt[4]{{x(1 - x)^2 }} + \sqrt[4]{{(1 - x)^3 }} - \sqrt {1 - x} - \sqrt[4]{{x^3 }} = \sqrt[4]{{x^2 (1 - x)}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi vipCD

Một bài từng post, khá hay!

Cho hệ
$\frac{x}{y}+sinx=a $
$\frac{y}{x} + siny = a $

$x,y \in (0;2\pi] $

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

$(x,y) $ là một nghiệm thì $(y,x),(|\pi-x|,|\pi-y|) $ cũng là nghiệm
Nên $x=y=\pi/2 $
Đk nữa....
==============

Nguyên văn bởi tientruong29

đang học pt nên post 1 bài cho anh em làm chơi,đơn giản thôi:
Giải phương trình:
$\sqrt x + \sqrt[4]{{x(1 - x)^2 }} + \sqrt[4]{{(1 - x)^3 }} - \sqrt {1 - x} - \sqrt[4]{{x^3 }} = \sqrt[4]{{x^2 (1 - x)}} $

*TH1:$\[x=0\\x=1 $ đều là nghiệm
Nglai:
pt tương đương:
Thổi để tiện . đặt $\{a=\sqrt[4]{x}\\b=\sqrt[4]{1-x};a,b\in [0,1] $
$a^2+ab^2+b^3-b^2-a^2=a^2b $
$(a-b)(a+a+b)^2)=0 $
$\[a=b\\a+b=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]