Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Hạ Long - Quảng Ninh năm học 2012 - 2013

tangchauphong · 29-06-2012, 11:01 AM

Đề thi dành cho chuyên toán và chuyên tin.
Thi ngày 29/06/2012
Thời gian 150 phút ( không tính thời gian phát đề)
Câu 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức $A=(1- \frac{2\sqrt{a}}{a+1}) : ( \frac{1}{\sqrt{a}+1} - \frac{2}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1}) $ với $a\ge 0 $; $a \neq 1 $
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị biểu thức của A khi $a= 2013 + 2\sqrt{2012} $

Câu 2: (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x(1+y)=5-y\\x^2.y=4- xy^2\end{cases} $

2. Giải phương trình:
$4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1} $

Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm $m $ để phương trình $x^2- (m+2)x +m^2 +1=0 $ có các nghiệm $x_{1}, x_{2} $ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^2 + 2x_{2}^2 = 3x_{1}.x_{2} $.

Câu 4: (3,5 điểm)
Cho hình vuông $ABCD $ cạnh a, trên cạnh $BC, CD $ lấy 2 điểm $E, F $ thay đổi sao cho $\widehat{EAF} = 45^o $ ( E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường thẳng $BD $ cắt hai đoạn thẳng $AE $và $AF $lần lượt tại $M $ và $N $. Đường thẳng đi qua $A $ và giao điểm của $EN, MF $ cắt $EF $ tại $H $.
a) Chứng minh rằng $AH $ vuông góc với $EF $.
b) Chứng minh rằng $EF $ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Tìm vị trí của $E, F $ để diện tích tam giác $FEC $ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho 2 số thực dương $x, y $ thỏa mãn: $x+y=5 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P= \frac{4x+y}{xy}+\frac{2x-y}{4} $.

**Snow Bell** · 29-06-2012, 11:32 AM

Câu cực trị mình làm như sau:
Thay $ y=5-x $.Viết lại biểu thức :
$$ P=\frac{3x+5}{x(5-x)}+\frac{3x-5}{4}=\frac{-3x^3+20x^2-13x+20}{4x(5-x)} $$
Ta sẽ chứng minh:
$$ \frac{-3x^3+20x^2-13x+20}{4x(5-x)} \ge \frac{3}{2} $$
Tương đương
$$ (3x-20)(x-1)^2 \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.
Vậy min $ P=\dfrac{3}{2} $ tại $ x=1,y=4 $

Thinking · 29-06-2012, 12:21 PM

Cách khác bài cực trị:
Nhận xét: $2x-y=4x+y-10 $

$\frac{P}{4}=\dfrac{4x+y}{4xy}+\dfrac{4x+y}{16}-\dfrac{5}{8}\geq \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(4x+y)^2}{4xy}}-\dfrac{5}{8} \geq \dfrac{3}{8} $

**hungqh** · 29-06-2012, 12:50 PM

1 cách nữa
$P=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3x}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{x}+x+\frac{4}{y}+\frac{y}{4}-2,5\geq 1,5 $

29-06-2012, 11:01 AM	#1
tangchauphong +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: MC online Bài gởi: 159 Thanks: 208 Thanked 62 Times in 52 Posts	Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Hạ Long - Quảng Ninh năm học 2012 - 2013 Đề thi dành cho chuyên toán và chuyên tin. Thi ngày 29/06/2012 Thời gian 150 phút ( không tính thời gian phát đề) Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức $A=(1- \frac{2\sqrt{a}}{a+1}) : ( \frac{1}{\sqrt{a}+1} - \frac{2}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1}) $ với $a\ge 0 $; $a \neq 1 $ 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị biểu thức của A khi $a= 2013 + 2\sqrt{2012} $ Câu 2: (2,5 điểm) 1. Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x(1+y)=5-y\\x^2.y=4- xy^2\end{cases} $ 2. Giải phương trình: $4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1} $ Câu 3: (1,5 điểm) Tìm $m $ để phương trình $x^2- (m+2)x +m^2 +1=0 $ có các nghiệm $x_{1}, x_{2} $ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^2 + 2x_{2}^2 = 3x_{1}.x_{2} $. Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình vuông $ABCD $ cạnh a, trên cạnh $BC, CD $ lấy 2 điểm $E, F $ thay đổi sao cho $\widehat{EAF} = 45^o $ ( E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường thẳng $BD $ cắt hai đoạn thẳng $AE $và $AF $lần lượt tại $M $ và $N $. Đường thẳng đi qua $A $ và giao điểm của $EN, MF $ cắt $EF $ tại $H $. a) Chứng minh rằng $AH $ vuông góc với $EF $. b) Chứng minh rằng $EF $ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí của $E, F $ để diện tích tam giác $FEC $ đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2 số thực dương $x, y $ thỏa mãn: $x+y=5 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P= \frac{4x+y}{xy}+\frac{2x-y}{4} $. __________________ Đem người khác ra là trò đùa vui lắm hay sao? Ngoảnh mặt làm ngơ, bơ đi mà sống. thay đổi nội dung bởi: tangchauphong, 29-06-2012 lúc 11:56 AM

29-06-2012, 11:32 AM	#2
Snow Bell +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Heaven Bài gởi: 579 Thanks: 10 Thanked 513 Times in 283 Posts	Câu cực trị mình làm như sau: Thay $ y=5-x $.Viết lại biểu thức : $$ P=\frac{3x+5}{x(5-x)}+\frac{3x-5}{4}=\frac{-3x^3+20x^2-13x+20}{4x(5-x)} $$ Ta sẽ chứng minh: $$ \frac{-3x^3+20x^2-13x+20}{4x(5-x)} \ge \frac{3}{2} $$ Tương đương $$ (3x-20)(x-1)^2 \le 0 $$ Điều này hiển nhiên đúng. Vậy min $ P=\dfrac{3}{2} $ tại $ x=1,y=4 $

29-06-2012, 12:21 PM	#3
Thinking +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Đến từ: T Bài gởi: 18 Thanks: 27 Thanked 9 Times in 7 Posts	Cách khác bài cực trị: Nhận xét: $2x-y=4x+y-10 $ $\frac{P}{4}=\dfrac{4x+y}{4xy}+\dfrac{4x+y}{16}-\dfrac{5}{8}\geq \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(4x+y)^2}{4xy}}-\dfrac{5}{8} \geq \dfrac{3}{8} $

29-06-2012, 12:50 PM	#4
hungqh +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 512 Thanks: 209 Thanked 287 Times in 224 Posts	1 cách nữa $P=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3x}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{x}+x+\frac{4}{y}+\frac{y}{4}-2,5\geq 1,5 $