China Mathematical Olympaid 2016.

**tikita** · 03-02-2016, 07:21 PM

China Mathematical Olympaid 2016.

Ngày thi thứ nhất

Bài 1: Cho $a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31}$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015$ , $ b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015$ và $a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.$ Tìm giá trị lớn nhất của $S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.$

Bài 2: Trong $\triangle AEF$, gọi $B$ và $D$ lần lượt thuộc các đoạn $AE$ và $AF$ , $C$ là giao điểm của $ED$ và $FB$. Gọi $K,L,M,N$ lần lượt thuộc các đoạn $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$, $\frac{BL}{LC}=\frac{BA}{CD}$, $\frac{CM}{MD}=\frac{CB}{DA}$, $\frac{DN}{NA}=\frac{DC}{AB}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle AEF$ tiếp xúc $AE,AF$ tại $S,T$, đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle CEF$ tiếp xúc $CE,CF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $K,L,M,N$ cùng nằm trên một đường tròn thì $S,T,U,V$ cũng nằm trên một đường tròn.

Bài 3: Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a_1, a_2,...,a_p$ là các số nguyên. Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương:

1) Tồn tại đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên với bậc $\leq \frac{p-1}{2}$ sao cho $P(i) \equiv a_i \pmod p$ với mọi $1 \leq i \leq p$.

2) Với mọi số tự nhiên $d \leq \frac{p-1}{2}$,
$$ \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ ở đây $a_{p+i}=a_i,\forall i>0$.

03-02-2016, 07:21 PM	#1
tikita Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts	China Mathematical Olympaid 2016. China Mathematical Olympaid 2016. Ngày thi thứ nhất Bài 1: Cho $a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31}$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015$ , $ b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015$ và $a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.$ Tìm giá trị lớn nhất của $S=\|a_1-b_1\|+\|a_2-b_2\|+\cdots+\|a_{31}-b_{31}\|.$ Bài 2: Trong $\triangle AEF$, gọi $B$ và $D$ lần lượt thuộc các đoạn $AE$ và $AF$ , $C$ là giao điểm của $ED$ và $FB$. Gọi $K,L,M,N$ lần lượt thuộc các đoạn $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$, $\frac{BL}{LC}=\frac{BA}{CD}$, $\frac{CM}{MD}=\frac{CB}{DA}$, $\frac{DN}{NA}=\frac{DC}{AB}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle AEF$ tiếp xúc $AE,AF$ tại $S,T$, đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle CEF$ tiếp xúc $CE,CF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $K,L,M,N$ cùng nằm trên một đường tròn thì $S,T,U,V$ cũng nằm trên một đường tròn. Bài 3: Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a_1, a_2,...,a_p$ là các số nguyên. Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương: 1) Tồn tại đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên với bậc $\leq \frac{p-1}{2}$ sao cho $P(i) \equiv a_i \pmod p$ với mọi $1 \leq i \leq p$. 2) Với mọi số tự nhiên $d \leq \frac{p-1}{2}$, $$ \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ ở đây $a_{p+i}=a_i,\forall i>0$.