Đề thi HSG tỉnh lớp 12 môn Toán năm học 2017-2018

[NTH 52]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)
1) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị là $\left( C \right).$ Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
2) Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-\left( m+6 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+3{{m}^{2}}$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thoả mãn ${{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{3}}-1 \right)}^{2}}=6.$
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Cho $\left( H \right)$ là đa giác đều $2n$ đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}},n\ge 2 \right).$ Gọi $S$ là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác $\left( H \right).$ Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập hợp $S,$ biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập hợp $S$ là $\frac{1}{13}.$ Tìm $n?$
2) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc $\left[ 0;100\pi \right]$ của phương trình $\frac{3-\cos 2x+\sin 2x-5\sin x-\cos x}{2\cos x+\sqrt{3}}=0$
Câu 3: (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số \[y={{\log }_{2018}}\left( {{2017}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-m \right)\] xác định với mọi $x$ thuộc $\left[ 0;+\infty \right).$
Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a,\widehat{ABC}={{60}^{0}},$ $SA=SB=SC,SD=2a.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB$ tại $K.$
1) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right).$
2) Mặt phẳng $\left( P \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ trong đó ${{V}_{1}}$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $S.$ Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.$
3) Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $SC$ và $SA.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $K.ACMN.$
Câu 5: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3\left( 2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y \right)+15x-10=0 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+y-5}+3\sqrt{y}-\sqrt{3{{x}^{2}}-6y+13}=0 \\
\end{align} \right.$
Câu 6: (2,0 điểm) Cho $a,b,c,d$ là các số thực không âm và có tổng bằng $1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\left( 1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}{{d}^{2}} \right)$

--- HẾT---

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]