Kỳ Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học - Đề Thi, Đáp Án và Kết Quả

[Evarist Galois]

Bài hình a đã từng có trên diễn đàn: [Only registered and activated users can see links. ]
Câu b thì khỏi nói tính tỉ số CM/MB=menelaus và hệ thức lượng. Bài hình như bài lớp 9 vậy.
Bài BDT quy nạp là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Tính cái tỉ số $\frac{PC}{CA}=\tan^2\alpha $ với $\alpha=\widehat{BAP} $
Áp dụng Van Aubel ra $\frac{PM}{MO}=2\tan^2 \alpha $
Từ đó thẳng tiến mà làm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khicon]

Nguyên văn bởi novae

Tính cái tỉ số $\frac{PC}{CA}=\tan^2\alpha $ với $\alpha=\widehat{BAP} $
Áp dụng Van Aubel ra $\frac{PM}{MO}=2\tan^2 \alpha $
Từ đó thẳng tiến mà làm

anh Minh xem hộ em ý tưởng bài tổ hợp như em làm ở trên có đúng không ạ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi khicon

anh Minh xem hộ em ý tưởng bài tổ hợp như em làm ở trên có đúng không ạ??

Lấy hình thoi có 1 góc 60 là thấy sai ngay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi thangtoancvp

Câu 1. Chứng minh bằng quy nạp:
Ta có $(\frac{x+1}{2})^{2n+3}=(\frac{x+1}{2})^{2n+1} (\frac{x+1}{2})^2\ge \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2 $.
Ta sẽ chứngminh $\frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2\ge \frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1}.(\frac{x+1}{2})^2 $ bất đẳng thức này tương đương với: $(x^{n+1}-1)^2(x-1)^2\ge 0 $

Bài này em không làm được
Như trên nhưng cái bất đẳng thức cần cm em phá hết ra,cuống quá ghi
nó tương đương
$(x-1)^2.A \geq 0 $.....
luôn đúng
.Bình tĩnh chia đa thức thì đã.Chắc dc 4/5.
.Tình hình khtn khá ổn nhé
Đề trông dễ chịu nhứng sao ai cũng zZz thế này?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Nguyên văn bởi novae

Bài 4 (5.0 điểm)
Cho ngũ giác lồi $ABCDE $ có các cạnh và 2 đường chéo $AC,AD $ có độ dài không vượt quá $\sqrt3 $. Trong ngũ giác lồi lấy $2011 $ điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi $ABCDE $ và chứa ít nhất $403 $ điểm trong số $2011 $ điểm đã cho

Bài này sử dụng ý tưởng "một tam giác cạnh không quá $\sqrt{3} $ thì phủ được bằng ba hình tròn đơn vị tâm tại các đỉnh của tam giác".
Chứng minh điều này như sau: Giả sử ngược lại, có điểm M không được phủ bởi 3 hình tròn nói trên. Thì vì khoảng cách từ giao điểm của hai đường tròn bất kì đến các cạnh lớn hơn hoặc bằng 1/2, nên khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác đều lớn hơn 1/2. Suy ra diện tích của tam giác lơn hơn $\frac{a+b+c}{4} $. Mặt khác, theo công thức Heron, diện tích tam giác ko quá $\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)abc}\le \frac{1}{4}(a+b+c) $ với a,b,c không vượt quá $\sqrt{3} $. Từ đó dẫn đến điều vô lí.
Sau đó xét 5 hình tròn đơn vị có tâm là các đỉnh của ngũ giác đã cho, theo nguyên lí Dirichllet, ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Tạch rồi.Làm đc mỗi 2,3 mà 3.2 làm nhầm.Ôn thi ĐH thôi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hophinhan_LHP]

Nguyên văn bởi nbkschool

Tạch rồi.Làm đc mỗi 2,3 mà 3.2 làm nhầm.Ôn thi ĐH thôi!

tui cũng đại học luôn, lăng tăng gì nửa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Chính xác.Câu b tọa độ đẹp cực kì.

@@nbkschool:
Ngày mai mới là đất của anh mà.

@@ toanlc_gift
ban đầu em cũng nghĩ ngược dấu nên ko làm...Sau mới chém vào,đúng mới may
Tại 2 vế bậc lệch nhau nhiều nên mới ko ngược dấu.Cái bài 1 nhẹ chán.
Nói chung là ngày 1 đề dễ chịu thật
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[IMO]

Nguyên văn bởi huy2710

Đề kì này trông cũng dễ chịu (chưa biết ngày mai ra sao )
Ngồi hoài mà chả làm được câu hình mới ngu
Mai chắc bỏ trắng luôn quá

Ở đây có ai người Nình Bình ko vậy?
Tình hình làm bài của đội Nình Bình thế nào nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Đồng Nai Hòa 3 bài Thành lớn 2 bài Thành bé hình như cũng 2.
Mai làm gì nữa.Biết thừa là bài khó thì mình không làm được,bài dễ cũng...ko làm được tất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[view]

à cho em hỏi tình hình anh Thắng bên tổng hợp làm thế nào
còn anh Thanh ăn ngon ngủ yên ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Xong.Anh còn nói thế thì Đồng Nai ai đủ sức để gánh vác 2% hy vọng ở TST
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi view

à cho em hỏi tình hình anh Thắng bên tổng hợp làm thế nào
còn anh Thanh ăn ngon ngủ yên ko

anh 2,5.Thắng nó 3 chú ạ.a Long 4.a Rực gần 4,còn bài dãy đang dở tay hay sao ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[newbie]

Đề này ngồi ngoài làm thấy nhẹ nhàng
Bài 1 :
Sử dụng quy nạp ta đưa về cm :
$ \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1} \le \frac{( x+1)^2}{4} .\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} $
$\frac{( x^n+1)(x^{n+2}+1)}{(x^{n+1}+1)^2} \le \frac{ (x+1)^2 }{4x} $
$ \frac{ x^n(x-1)^2}{ ( x^{n+1}+1)^2 } \le \frac{ (x-1)^2}{4x} $
$4x^{n+1} \le (x^{n+1}+1)^2 $
hiển nhiên đúng
Bài 2:
$x_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n+ \sum^{n-1}_{i=1}x_i )=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n + \frac{(n-1)^2}{2n}x_n )=\frac{ n+1 }{n}.\frac{n^2+1}{n^2} x_n $
Vậy ta suy đuợc 2 điều sau :
+ $y_{n+1}=\frac{ n^2+n+1}{n^2}. \frac{x_n}{n} $
+ $\frac{x_{n+1}}{n+1}=\prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $

Việc còn lại là chứng minh $z_n= \prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $
Mà bài này thì ai từng học qua giới hạn đều gặp cả

Bài 3
a) Pascal
b)Không cần quan tâm đến mấy điểm E,D thì thấy bài này đủ hết các yếu tố để xài Ceva .Cách hình học thì chưa nghĩ ra
Bài 4
Ý tưởng lộ rõ khi nhắc đến 2 đường chéo $AC $ và $AD $.Nối 2 đường chéo ấy lại , ta chia ngũ giác ra làm 3 tam giác .Từ đây xài bài toán phụ : Tam giác có 3 cạnh nhỏ hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác ấy bị phụ kín bởi các hình tròn đơn vị có tâm ở các đỉnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]