Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-11-2013, 09:04 PM   #1
baotram
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 142
Thanks: 83
Thanked 20 Times in 19 Posts
Tìm cách chứng minh dể hiểu

Mình có ý định viết lại chuyên đề "Phương pháp LTE" nhưng gặp 1 số bài toán khó. Mong tìm được lời giải giản dị
BT1. Cho $a,b $ là các số nguyên dương lớn hơn 1 và $b $ là số lẻ.
Chứng minh rằng:
Nếu $b^{n}|a^{n}-1 $ thì $a^{b}>\frac{3^{n}}{n} $ với $n $ là số nguyên dương

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: baotram, 27-11-2013 lúc 09:10 PM
baotram is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-11-2013, 06:20 PM   #2
Kool_LL
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 112
Thanks: 8
Thanked 79 Times in 52 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi baotram View Post
Mình có ý định viết lại chuyên đề "Phương pháp LTE" nhưng gặp 1 số bài toán khó. Mong tìm được lời giải giản dị
BT1. Cho $a,b $ là các số nguyên dương lớn hơn 1 và $b $ là số lẻ.
Chứng minh rằng:
Nếu $b^{n}|a^{n}-1 $ thì $a^{b}>\frac{3^{n}}{n} $ với $n $ là số nguyên dương
Ta có : $b^n|a^n-1\Rightarrow b^n<a^n $ và $(a^n,b^n)=1\Rightarrow b<a $ và $(a,b)=1 $.
Gọi $p $ là một ước nguyên tố của $b $. Thì $p $ lẻ $\ge3 $ và $p|b|b^n|a^n-1 $ và $(p,a)=1 $
Gọi $s $ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^s-1\ \vdots\ p $. Thì $s|n $ và $p|a^s-1|a^n-1=(a^s)^{\frac{n}{s}}-1 $.
Áp dụng bổ đề LTE suy ra : $v_p(a^n-1)=v_p(a^s-1)+v_p\left(\frac{n}{s}\right) $
Mà $p^n|b^n|a^n-1\Rightarrow v_p(a^n-1)\ge n $
Do đó : $n\le v_p(a^s-1)+v_p\left(\frac{n}{s}\right)=v_p[(a^s-1).\frac{n}{s}]\Rightarrow (a^s-1).\frac{n}{s}\ge p^n $
$\Rightarrow a^s>a^s-1\ge\frac{a^s-1}{s}\ge\frac{p^n}{n}\ge\frac{3^n}{n} $
Theo định lí Fermat nhỏ ta có : $a^{p-1}-1\ \vdots p $. Do $s $ được chọn là số nhỏ nhất nên $s\le p-1<p\le b $
Vậy $a^b>a^s>\frac{3^n}{n}.\ \boxed{} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Kool_LL is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Kool_LL For This Useful Post:
baotram (28-11-2013), quocbaoct10 (28-11-2013)
Old 28-11-2013, 06:46 PM   #3
baotram
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 142
Thanks: 83
Thanked 20 Times in 19 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kool_LL View Post
Ta có : $b^n|a^n-1\Rightarrow b^n<a^n $ và $(a^n,b^n)=1\Rightarrow b<a $ và $(a,b)=1 $.
Gọi $p $ là một ước nguyên tố của $b $. Thì $p $ lẻ $\ge3 $ và $p|b|b^n|a^n-1 $ và $(p,a)=1 $
Gọi $s $ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^s-1\ \vdots\ p $. Thì $s|n $ và $p|a^s-1|a^n-1=(a^s)^{\frac{n}{s}}-1 $.
Áp dụng bổ đề LTE suy ra : $v_p(a^n-1)=v_p(a^s-1)+v_p\left(\frac{n}{s}\right) $
Mà $p^n|b^n|a^n-1\Rightarrow v_p(a^n-1)\ge n $
Do đó : $n\le v_p(a^s-1)+v_p\left(\frac{n}{s}\right)=v_p[(a^s-1).\frac{n}{s}]\Rightarrow (a^s-1).\frac{n}{s}\ge p^n $
$\Rightarrow a^s>a^s-1\ge\frac{a^s-1}{s}\ge\frac{p^n}{n}\ge\frac{3^n}{n} $
Theo định lí Fermat nhỏ ta có : $a^{p-1}-1\ \vdots p $. Do $s $ được chọn là số nhỏ nhất nên $s\le p-1<p\le b $
Vậy $a^b>a^s>\frac{3^n}{n}.\ \boxed{} $
Đây đúng là lời giải mình mong muốn có. Cám ơn bạn
------------------------------
Thêm một bài toán mà mình không rõ quan hệ giữa giai thừa và số mũ. Cần sự giúp đở!
BT2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: $(n-1)!+1=n^m $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: baotram, 28-11-2013 lúc 07:17 PM Lý do: Tự động gộp bài
baotram is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:06 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 48.25 k/53.50 k (9.82%)]