|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
29-08-2010, 08:35 PM | #136 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 12 Thanks: 1 Thanked 4 Times in 4 Posts | Chứng minh BĐT $\frac{1}{1972}.X^{\frac{15}{11}}+1971 > \frac{1}{1990}.X^{\frac{15}{21692}} $ với X>0 thay đổi nội dung bởi: chinhnghiatq, 29-08-2010 lúc 08:43 PM |
The Following User Says Thank You to chinhnghiatq For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
29-08-2010, 08:49 PM | #137 |
+Thành Viên+ | Ký hiệu $\sum $ là tổng đối xứng. Ta có đẳng thức quen thuộc sau: ${\left( {a + b + c + d} \right)^2} = \sum {{a^2}} + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) $ Dùng AM-GM ta có thể chứng minh được: $\sum {ab} = ab + ac + ad + bc + bd + cd \le \frac{3}{8}{\left( {a + b + c + d} \right)^2} = \dfrac{3}{8} $ $abcd \le {\left( {\dfrac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} = \dfrac{1}{{{4^4}}} $ Do $a+b+c+d=1 $, nên ta có: $ \dfrac{1}{{abc}} = \dfrac{{a + b + c + d}}{{abc}} = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} + \dfrac{d}{{abc}} $ $\dfrac{1}{{abd}} = \dfrac{{a + b + c + d}}{{abd}} = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bd}} + \frac{1}{{da}} + \frac{c}{{abd}} $ $\dfrac{1}{{acd}} = \frac{{a + b + c + d}}{{acd}} = \frac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{cd}} + \frac{1}{{da}} + \frac{b}{{acd}} $ $\frac{1}{{bcd}} = \frac{{a + b + c + d}}{{bcd}} = \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{cd}} + \frac{1}{{da}} + \frac{a}{{bcd}} $ Từ đó suy ra: $\sum {\frac{1}{{abc}}} = 2\sum {\frac{1}{{ab}}} + \sum {\frac{a}{{bcd}}} $ Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{{{x_1}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}} \ge \frac{{{n^2}}}{{{x_1} + ... + {x_n}}} $ và AM-GM, ta có các bất đẳng thức sau: $\begin{aligned}\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}} + \sum {\frac{1}{{4ab}}} &\ge \frac{{{7^2}}}{{\sum {{a^2} + 4\sum {ab} } }}\\ &= \frac{{49}}{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2} + 2\sum {ab} }} \ge \frac{{49}}{{1 + 2.\dfrac{3}{8}}} = 28\\\end{aligned} $. $7\sum {\frac{1}{{4ab}}} \ge \frac{{{{7.6}^2}}}{{4\sum {ab} }} \ge \frac{{7.36}}{{4.\dfrac{3}{8}}} = 168 $. $\sum {\frac{a}{{bcd}}} \ge 4\sqrt {\frac{1}{{abcd}}} \ge 4.\sqrt {\frac{1}{{\dfrac{1}{{{4^4}}}}}} = 64 $. Từ đó suy ra: $P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}} + \sum {\frac{1}{{4ab}}} + 7\sum {\frac{1}{{4ab}}} + \sum {\frac{a}{{bcd}}} \ge 28 + 168 + 64 = 260 $ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\dfrac{1}{4} $ Vậy $MinP=260 $ |
The Following 3 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post: |
29-08-2010, 09:10 PM | #138 | |
+Thành Viên+ | Trích:
Khi đó ta chọn tam giác có độ dài ba cạnh như sau: $a=b=k,c=\dfrac{1}{k^3} $ (dễ thấy đây là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác) Thay vào bất đẳng thức ta được: $1>2k^3+\dfrac{1}{k^6} $ (dễ thấy điều sai) | |
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
29-08-2010, 10:48 PM | #140 |
Administrator | Hihi! Mình xin nêu 1 cách ngắn gọn hơn, một số đánh giá cũng thực hiện tương tự: Ta có: $abcd \le (\frac{a+b+c+d}{4})^4=\frac{1}{256}\Rightarrow \frac{1}{abcd} \ge 256 $ $\sum ab=ab+bc+cd+da+ac+bd \le \frac{3}{8}(\sum a)^2=\frac{3}{8} $. Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}+ \sum\frac{1}{4ab} \ge \frac{7^2}{\sum a^2 + 4. \sum ab}= \\\frac{49}{(\sum a)^2+ 2\sum ab} \ge \frac{{49}}{{1 + 2.\dfrac{3}{8}}} = 28 $. Hơn nữa: $ \sum\frac{1}{4ab}=\frac{\sum ab}{4abcd} \le \frac{3}{32abcd} $. Ta có: $P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abc}=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abcd}=\\(\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{4ab})+(\frac{3}{32abcd}-\sum \frac{1}{4ab})+\frac{29}{32abcd} \ge 28+0+232=260 $. Vậy GTNN cần tìm là 260, đạt được khi $a=b=c=d=\frac{1}{4} $. |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 12:49 AM | #142 | |
Administrator | Trích:
$\sqrt{1+\frac{4bc}{a^2}}.(\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+4. \frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{c^2}{a^2}+4.\frac{b}{a}}) +(\frac{b+c}{a})^2-\frac{4(b+c)}{a} \ge 0 $. Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a} $, ta có BĐT 2 biến sau: $\sqrt{1+4xy}.(\sqrt{x^2+4y}+\sqrt{y^2+4x})+(x+y)^2-4(x+y) \ge 0 $ Đánh giá BĐT này cũng dễ hơn BĐT đã nêu 1 chút! | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 01:49 AM | #143 | |
Administrator | Trích:
$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} >2 $ (*) Thật ra BĐT này lấy ý tưởng từ BĐT: $ \sqrt{ \frac{a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{c}{a+b}}>2 $ Trường hợp 4 biến (ở đề bài) hay nhiều hơn cũng chứng minh tương tự, cụ thể là: Theo BĐT Cauchy: $\frac{b+c}{a}+1 \ge 2.\sqrt{\frac{b+c}{a}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{2a}\ge \sqrt{\frac{b+c}{a}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}} \ge \frac{2a}{a+b+c} $. Tương tự với hai căn còn lại, cộng lại, ta có: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} \ge \sum \frac{2a}{a+b+c}=2 $. Đẳng thức không xảy ra nên ta có đpcm. BĐT (*) là: $ \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+ \sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+ \sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+ \sqrt{\frac{d}{a+b+c}} >2 $ được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. Ở BĐT (*) chỉ cần cho $c=d $ là có bài toán đã nêu. thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 30-08-2010 lúc 04:02 PM | |
30-08-2010, 01:04 PM | #144 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Đến từ: Tp_HCM Bài gởi: 170 Thanks: 109 Thanked 60 Times in 32 Posts | Một bài bất đẳng thức khó Nhờ các bạn giải giúp mình bài này với Cho $a^2 $+$2b^2 $$\leq $ $3c^2 $ CMR $\frac {1}{a} $ +$\frac {2}{b} $$\geq $ $\frac {3}{c} $ __________________ NOTHING IS IMPOSSIBLE thay đổi nội dung bởi: boheoga9999, 30-08-2010 lúc 01:06 PM |
The Following User Says Thank You to boheoga9999 For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 03:57 PM | #147 | |
Administrator | Trích:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 1972 số dương gồm: $\frac{1}{1972}.X^{\frac{15}{11}} $ và 1971 số 1, ta có: $\frac{1}{1972}.X^{\frac{15}{11}}+1+1+...+1 \ge 1972.\sqrt[1972]{\frac{1}{1972}.X^{ \frac{15}{11}}1.1....1}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{1972}.X^{ \frac{15}{11}}+1971 \ge \frac{1972}{ \sqrt[1972]{1972}}.X^{ \frac{15}{21692}}> \frac{1}{1990}X^{ \frac{15}{21692}} $ *Nhưng thực tế ta có thể chứng minh đơn giản hơn thế này: - Nếu $x>1 $ thì: $X^{\frac{15}{1992}}>X^{\frac{15}{21692}} \Rightarrow \frac{1}{1972} X^{\frac{15}{1992}}> \frac{1}{1990} X^{\frac{15}{21692}} $. Khi đó hiển nhiên: VT> VP. - Nếu $0< x \le 1 $ thì: $X^{\frac{15}{21692}}<1\Rightarrow \frac{1}{1990}X^{\frac{15}{21692}}<1<1972 $. Khi đó rõ ràng là: VT>VP. Ta luôn có đpcm. thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 30-08-2010 lúc 04:01 PM | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 04:10 PM | #148 | |
Administrator | Trích:
Trước hết, ta có kết quả: $x \ge sinx, \forall x \ge 0 $. Điều này để dàng có được việc khảo sát hàm số. Dễ thấy hàm số này là hàm số chẵn nên ta sẽ tìm tập giá trị của nó với $x \in [0;\frac{\pi}{2}] $. Ta có: $f'(x)=-2sinx+2x=2(x-sinx)\ge 0, \forall x \in [0, \frac{\pi}{2}] $. Do đó $f(x) $ đồng biến trên $[0, \frac{\pi}{2}] $. Ta được: $f(0) \le f(x) \le f(\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow 2\le f(x)\le\frac{\pi^2}{4}, \forall x \in [0, \frac{\pi}{2}] $. Suy ra: $2\le f(x)\le\frac{\pi^2}{4}, \forall x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Ta có đpcm. | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 04:15 PM | #149 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 6 Thanks: 6 Thanked 2 Times in 2 Posts | Trích:
học gõ Latex cẩn thận rồi mới post bài nhé: [Only registered and activated users can see links. ] thay đổi nội dung bởi: novae, 30-08-2010 lúc 04:20 PM | |
The Following User Says Thank You to huuphuc For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
30-08-2010, 04:22 PM | #150 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 456 Thanks: 64 Thanked 215 Times in 143 Posts | Lại bằng đồ thị , mình thấy bdt sau đúng: $\sqrt{a^2+4bc}\sqrt{(b+2\sqrt{ba})^2+(c+2\sqrt{ca} )^2}+(b+c)^2-4a(b+c)\ge 0 $ Cái này bình phương khử căn nhẹ nhàng hơn ban đầu, tối nay mò mẫm xem sao. |
The Following User Says Thank You to beyondinfinity For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
Bookmarks |
Tags |
bất đẳng thức |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|