Bài tập lý thuyết phạm trù

[dinhcu_pro]

Bài 1. Cho ví du chứng tỏ một cấu xạ là đơn xạ nhưng không đơn ánh.
Bài 2. Nếu $\beta $ đơn xạ trong phạm trù $C $ thì cũng đơn xạ trong phạm trù con của $C $ chứa $\beta $
Tiện thể cho hỏi ban quản trị vì sao lại khóa topic " bài tập lý thuyết môdun" ở cùng chuyên mục đại số này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài 2 chỉ đơn giản là áp dụng định nghĩa.

Bài 1 thì cách nêu vấn đề rất buồn cười. Đơn ánh (injective mapping) là khái niệm của ánh xạ. Còn đơn xạ (monomorphism) là khái niệm trong phạm trù, chỉ một mũi tên thỏa mãn một số tính chất nào đó, chứ nó không phải là ánh xạ giữa hai tập hợp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dinhcu_pro]

Nguyên văn bởi 99

Bài 2 chỉ đơn giản là áp dụng định nghĩa.

Bài 1 thì cách nêu vấn đề rất buồn cười. Đơn ánh (injective mapping) là khái niệm của ánh xạ. Còn đơn xạ (monomorphism) là khái niệm trong phạm trù, chỉ một mũi tên thỏa mãn một số tính chất nào đó, chứ nó không phải là ánh xạ giữa hai tập hợp.

Bài 2 mình đánh thiếu đề. Trường hợp trên chỉ áp dụng định nghĩa là xong. Chỉ ra chiều ngược lại nói chung không đúng.
Bài 1. trong phạm trù $S $- các tập hợp, thì mỗi cấu xạ là đơn xạ khi và chi khi nó là đơn ánh.
$Mor(S) $: mỗi cấu xạ của nó là ánh xạ giữa các tập hợp. Nên đề bài 1 là chính xác rồi. Mình vẫn chưa tìm ra ví dụ cho bài 1, 2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi dinhcu_pro

Bài 2 mình đánh thiếu đề. Trường hợp trên chỉ áp dụng định nghĩa là xong. Chỉ ra chiều ngược lại nói chung không đúng.
Bài 1. trong phạm trù $S $- các tập hợp, thì mỗi cấu xạ là đơn xạ khi và chi khi nó là đơn ánh.
$Mor(S) $: mỗi cấu xạ của nó là ánh xạ giữa các tập hợp. Nên đề bài 1 là chính xác rồi. Mình vẫn chưa tìm ra ví dụ cho bài 1, 2.

Bài 2 : Nếu bạn đánh thiếu thì lẽ ra bạn phải bổ sung vào chứ.

Bài 1 : Nếu bạn nói đề bài 1 của bạn chính xác thì rất đơn giản là bạn chưa hiểu thế nào là phạm trù-hàm tử rồi.

Ví dụ xét phạm trù C sau : $Ob_C = \mathbb{N}\cup \{0\} $ , với $m,n\in Ob_C $, một mũi tên từ $m\to n $ là một ma trận cấp $n\times m $ với hệ số trong trường K cố định. Phép hợp thành là tích hai ma trận, còn cấu xạ đồng nhất là ma trận đơn vị. Đây là một phạm trù.

Vậy thì mũi tên ở đây là gì? Không phải là ánh xạ. Vậy thì ta không thể nói đến đơn ánh.

Vì vậy, trong đề bài câu 1 cần thiết phải chỉ rõ ra bạn đang xét phạm trù nào.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dinhcu_pro]

Nguyên văn bởi 99

Bài 2 : Nếu bạn đánh thiếu thì lẽ ra bạn phải bổ sung vào chứ.

Bài 1 : Nếu bạn nói đề bài 1 của bạn chính xác thì rất đơn giản là bạn chưa hiểu thế nào là phạm trù-hàm tử rồi.

Ví dụ xét phạm trù C sau : $Ob_C = \mathbb{N}\cup \{0\} $ , với $m,n\in Ob_C $, một mũi tên từ $m\to n $ là một ma trận cấp $n\times m $ với hệ số trong trường K cố định. Phép hợp thành là tích hai ma trận, còn cấu xạ đồng nhất là ma trận đơn vị. Đây là một phạm trù.

Vậy thì mũi tên ở đây là gì? Không phải là ánh xạ. Vậy thì ta không thể nói đến đơn ánh.

Vì vậy, trong đề bài câu 1 cần thiết phải chỉ rõ ra bạn đang xét phạm trù nào.

Ok. Đề bài nè:
Chứng minh rằng trong phạm trù các tập tợp, một cấu xạ $\alpha $ là đơn xạ khi và chỉ khi $alpha $ là đơn ánh.
Cho một ví dụ chứng tỏ rằng một cấu xạ là đơn xạ nhưng không đơn ánh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dinhcu_pro]

Nguyên văn bởi 99

Bài 1 thì cách nêu vấn đề rất buồn cười. Đơn ánh (injective mapping) là khái niệm của ánh xạ. Còn đơn xạ (monomorphism) là khái niệm trong phạm trù, chỉ một mũi tên thỏa mãn một số tính chất nào đó, chứ nó không phải là ánh xạ giữa hai tập hợp.

Ta xét trong phạm trù cộng tính, Div-các nhóm aben chia được thì nó đơn xạ nhưng không đơn ánh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]