Thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm giải phương trình hàm

[TrauBo]

Chào các bạn,

Phương trình hàm là một dạng toán khó và luôn có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. TrauBo mới học về phần này nên còn nhiều điều bỡ ngỡ, vì vậy xin mạn phép lập topic này để mọi người trao đổi kinh nghiệm. Rất mong các bạn giúp đỡ nhiệt tình

Đích đến của chúng ta là tìm ra ý tưởng giải và nếu được, tổng quát hóa bài toán. Nếu các bạn có bài nào thắc mắc về lời giải có thể đưa lên ta cùng mổ xẻ nhé
Ta đến với vấn đề 1:

Bài 1: (AUS 1995)
Tìm hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ thỏa $$\begin{cases} f(1)=\dfrac{1}{2}\ (1) \\ f(xy)=f(x) f(\frac{3}{y})+f(y)f(\frac{3}{x}) \ \forall x,y \in \mathbb{R^+}\ (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bài này TrauBo nghĩ là như sau:
$\circledast$ Ý tưởng: Gọi $k$ là bậc của $f(x)$ thì từ (2) ta có $k=0$. Như vậy $f(x)$ là hàm hằng nên ta cố đưa về dạng $f(x)=\alpha$.
_ Để xuất hiện $f(x)$ từ vế trái của (2) ta thử cho $y=1$:
$$f(x)=f(x).f(3)+f(1).f(\frac{3}{x})$$
_ Như vậy phải tính $f(3)$. Ta lại phân tích từ vế trái của (2). Cho $x=1,y=3$ sẽ có $$f(3)=\frac{1}{4}+f^2 (3) \Leftrightarrow f(3)=\frac{1}{2}$$
_ Từ đó ta có $f(x)=f(x).\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.f(\frac{3}{x}) \Leftrightarrow f(\frac{3}{x})=f(x)$
_ Như vậy phải tính $f(\frac{3}{x})$. Do $x,y$ đối xứng nên ta thử đổi chỗ: thay $y=\frac{3}{x}$ có $$f(3)=2f(x)f(\frac{3}{x}) \Leftrightarrow f(x).f(\frac{3}{x})=\frac{1}{4} \Leftrightarrow f^2(x)=\frac{1}{4} \Leftrightarrow f(x)=\pm \frac{1}{2}$$
Thử lại ta thấy chỉ có $f(x)=\frac{1}{2}$ thỏa. $\Box$

Nhận xét: Trên đây là tất cả ý tưởng vì sao dùng phép thế như vậy. Ai có cách giải khác hay bài tập tương tự xin hãy post lên nhé

Mời các bạn suy nghĩ ý tưởng cho bài sau:

Bài 2: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(xf(y)+x)=xy+f(x) \ \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Bài 3: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2) \ \forall x,y \in \mathbb{R}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]