Biện luận phương trình

[tasequaylai20]

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x}=m $. TÌm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Điều kiện cần:
Nếu $x_{0} $ là nghiệm của PT thì $1-x_{0} $ cũng là nghiệm của PT đã cho.
Do đó để PT có nghiệm duy nhất thì : $x_{0}=1-x_{0} \Rightarrow x_{0}=\frac{1}{2} $
Thay $x_{0}=\frac{1}{2} $ vào tìm được $m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{4} $
Điều kiện đủ:
Có : $(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}) \leq \sqrt{2(x+1-x)}+2\sqrt[3]{\frac{1-x+x}{2}}=\sqrt{2}+\sqrt[4]{4} $

P/s: Cơ bản

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi tasequaylai20

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x}=m $. TÌm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài này còn có thể giải như sau:
Xét hàm số $y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x} $.
Ta có: $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}} $
$y'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} $
Lập bảng biến thiên cho hàm số y.
Dự vào bảng biến thiên ta có: PT có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m=y(\frac{1}{2})=\sqrt{2}+\sqrt[4]{4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]