Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-06-2009, 12:29 PM   #1
2424
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2009
Bài gởi: 81
Thanks: 0
Thanked 16 Times in 12 Posts
Bất đẳng thức IMO 2001!

Cho $a,b,c>0 $ cmr
$\frac{a}{ \sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{ \sqrt{b^2+8ca}}+ \frac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $
Mình có lời giải hay,không dùng Cauchy-schwarzt,Holder hay đánh giá đại diện!
ai có lời giải mới thì post lên nhe!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
2424 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-06-2009, 06:01 PM   #2
franciscokison
+Thành Viên+
 
franciscokison's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2009
Đến từ: Hanoi University of Science and Technology
Bài gởi: 652
Thanks: 120
Thanked 249 Times in 181 Posts
Gửi tin nhắn qua MSM tới franciscokison Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới franciscokison
bài này có rất nhiều cách ví dụ như đổi biến hoặc chuẩn hóa rồi xét hàm nói chung đều hay cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
franciscokison is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-06-2009, 07:07 PM   #3
iqtimo
+Thành Viên+
 
iqtimo's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2009
Bài gởi: 16
Thanks: 2
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi 2424 View Post
Cho $a,b,c>0 $ cmr
$\frac{a}{ \sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{ \sqrt{b^2+8ca}}+ \frac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $
Mình có lời giải hay,không dùng Cauchy-schwarzt,Holder hay đánh giá đại diện!
ai có lời giải mới thì post lên nhe!
Chứng minh bổ đề :
$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+ 8bc}}\geq \frac{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{4}{3}}+ {b}^{\frac{4}{3}}+{c}^{\frac{4}{3}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Không có người dốt chỉ có người lười , không có người lười chỉ có người không có quyết tâm !
iqtimo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-06-2009, 08:13 PM   #4
study_more_91
+Thành Viên+
 
study_more_91's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 68
Thanks: 8
Thanked 26 Times in 17 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi iqtimo View Post
Chứng minh bổ đề :
$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+ 8bc}}\geq \frac{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{4}{3}}+ {b}^{\frac{4}{3}}+{c}^{\frac{4}{3}}}(*) $



Đặt: $a^{\frac{1}{3}}=A, b^{\frac{1}{3}}=B, c^{\frac{1}{3}}=C, $

$A,B,C>0 $


Biến đổi tương đương
$(*) <=>A^6B^8 + A^6C^8 +2A^{10}B^4 +2A^{10}C^4 +2A^6B^4C^4 \geq 8A^8B^3C^3 ,(1) $

Ta có: $A^6B^8 +A^6C^8 \geq 2A^6B^4C^4 $

$2A^{10}B^4 +2A^{10}C^4 \geq 4A^{10}B^2C^2 $

$=> VT(1) \geq 4A^6B^4C^4 + 4A^{10}B^2C^2 \geq 8A^8B^3C^3=VP(1) $

DONE!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đời như cục gạch , đập phát vỡ tan
study_more_91 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-06-2009, 09:07 PM   #5
Soanltk
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 39
Thanks: 1
Thanked 3 Times in 2 Posts
Bài này có thể có rất nhiều cách làm lắm.Có thể tham khảo trên Báo toán học và tuổi trẻ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Soanltk is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-06-2009, 10:04 AM   #6
2424
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2009
Bài gởi: 81
Thanks: 0
Thanked 16 Times in 12 Posts
Những lời giải trên của các bạn không phải là lời giải mà mình cần nói tới.
Mình đã nói là có lời giải khác cách dùng Cauchy-shwarzt,Holder hay đánh giá đại diện thì post lên còn vẫn giải theo những cách đó thì post lên làm gì!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
2424 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-06-2009, 11:38 AM   #7
8826
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 60
Thanks: 18
Thanked 8 Times in 2 Posts
Cách giải hay

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=....; z=.... $
thì ta có
$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2} $
$\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2} $
$\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2} $
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3 $ (1)
Giả sử S=x+y+z<1 thì
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) $ (2)
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3 $(3)
Thật vậy ta có
$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) $ (4)
$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz) $(5)
Nhân từng vế (4) và (5) ta thu đc (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3 $ mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1 $(đpcm)
PS: cách giải này mình đọc đc, thấy hay nên post cho mọi người tham khảo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
8826 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-06-2009, 01:03 PM   #8
2424
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2009
Bài gởi: 81
Thanks: 0
Thanked 16 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 8826 View Post
Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=....; z=.... $
thì ta có
$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2} $
$\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2} $
$\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2} $
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3 $ (1)
Giả sử S=x+y+z<1 thì
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) $ (2)
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3 $(3)
Thật vậy ta có
$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) $ (4)
$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz) $(5)
Nhân từng vế (4) và (5) ta thu đc (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3 $ mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1 $(đpcm)
PS: cách giải này mình đọc đc, thấy hay nên post cho mọi người tham khảo
Lời giải trên khá đẹp!Các bạn cũng có thể tham khảo thêm lời giải sau:
Đặt $x^3= \frac{bc}{a^2} ,... $
$P= \sum \frac{1}{ \sqrt{8x^3+1}} $
Áp dụng bdt Cauchy cho các số thực dương ta có
$\sqrt{8x^3+1} = \sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)} \leq 2x^2+1 $
Việc còn lại là cm $\sum \frac{1}{2m+1} \geq 1 (m,n,p>0; mnp=1) $
bdt cuối rất dễ và quen thuộc!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
2424 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 2424 For This Useful Post:
ghetvan (16-06-2011)
Old 08-06-2009, 02:21 PM   #9
nbkschool
+Thành Viên+
 
nbkschool's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore
Bài gởi: 400
Thanks: 72
Thanked 223 Times in 106 Posts
Lời giải của bạn rất giống lời giải của mình post trên ML:
[Only registered and activated users can see links. ]
(bài post cuối)
Coi bộ ý tưởng nhỏ gặp nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"Apres moi,le deluge"
nbkschool is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-01-2017, 03:39 PM   #10
TYQ
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2017
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 2424 View Post
Lời giải trên khá đẹp!Các bạn cũng có thể tham khảo thêm lời giải sau:
Đặt $x^3= \frac{bc}{a^2} ,... $
$P= \sum \frac{1}{ \sqrt{8x^3+1}} $
Áp dụng bdt Cauchy cho các số thực dương ta có
$\sqrt{8x^3+1} = \sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)} \leq 2x^2+1 $
Việc còn lại là cm $\sum \frac{1}{2m+1} \geq 1 (m,n,p>0; mnp=1) $
bdt cuối rất dễ và quen thuộc!
việc còn lại là chứng minh [TEX]\sum \frac{1}{2m^2+1}\geq 1 mà
nêu cách giải cho em với được không ạ,.. quen thuộc nhưng cũng khó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TYQ is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-01-2017, 01:19 PM   #11
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,144 Times in 1,366 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi TYQ View Post
việc còn lại là chứng minh [TEX]\sum \frac{1}{2m^2+1}\geq 1 mà
nêu cách giải cho em với được không ạ,.. quen thuộc nhưng cũng khó
BĐT cần chứng minh là: Cho $mnp=1$, chứng minh $$\dfrac{1}{2m+1}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2p+1} \ge 1.$$

Quy đồng, khai triển và rút gọn, ta có:
$$1+m+n+p \ge 4mnp \text{ hay } m+n+p \ge 3.$$ Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:37 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 77.77 k/89.91 k (13.51%)]