Tổ hợp lồi

man1995 · 21-09-2011, 07:44 PM

Trong mặt phẳng có 6 điểm phân biệt . Với mỗi hai điểm trong chúng ta nối thành 1 đoạn thẳng . Chứng minh rằng tỉ số giữa đoạn thẳng dài nhất với đoạn thẳng ngắn nhất lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{3} $

man1995 · 21-09-2011, 10:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Lê Thế Long

Giả sử như 6 điểm này nằm trong hình tròn đường kính là 1 thì sao nhỉ

Không em nghĩ xét tất cả là 3 trường hợp
Th1 : 3 điểm thẳng hàng
Th2 : tồn tại 1 tam giác có góc lớn nhất lớn hơn hoặc bằng 120
Th3 : xét trường hợp tổng quát không có 3 điểm nào thẳng hàng
Còn 6 điểm có thể không thuộc 1 đường tròn vẫn được mà Anh
------------------------------
Em chứng minh bằng cách lấy bao lồi cho từng trường hợp mà có lẽ phức tạp quá ...... Anh chứng minh sao

Lê Thế Long · 21-09-2011, 11:59 PM

Giả sử 6 điểm đó lần lượt là $A;A_1;A_2;A_3;A_4;A_5 $ .Theo nguyên lí cực hạn tồn tại 1 cạnh lớn nhất giả sử đó là $A_1A $. Không mất tính tổng quát, ta kẻ một đường tròn tâm $A $ bán kính $A_1A =\sqrt{3}k $ trong đó$ k\in R $.Lại kẻ một đường tròn tâm $A $bán kính k. Bây giờ nếu như 4 điểm còn lại nằm trên đường tròn tâm A bán kính k thì bài toán dễ dàng chứng minh xong. Xét trường hợp 4 điểm còn lại nằm trong vành có khoảng cách giữa 2 đường tròn$(\sqrt{3}-1) $. Nếu trong 4 điểm này tồn tại 2 điểm có khoảng cách là k thì bài toán chứng minh xong. Xét trường hợp 4 điểm này phân biệt và có khoảng cách với nhau lớn hơn k không mất tính tổng quát giả sử đó 4 đỉnh đó lần lượt theo thứ tự là $A_2;A_3;A_4;A_5 $thì ta sẽ có ngay điều cần chứng minh giả sử 4 đỉnh đó không thẳng hàng thì Ta có đường chéo của đa giác trên sẽ lớn hơn$ 2k $(Tồn tại 1góc lớn hơn 90 ápđụng hàm số cosin) hay nói khác đi sẽ có 2 đỉnh nằm lần lượt trên và dưới của đường kính đường tròn k giả sử điểm nằm trên là$ A_2 $nằm dưới là $A_4 $ thì vì các khoảng cách giữa các đỉnh đều bằng nhau và bằng k nên 2 điểm này phải đối xứnggọi giao điểm gần $A_2 $nhất của $A_2A_4 $ với đường tròn tâm là $\sqrt{3}k $ là T thì ta có $\frac{TA_4}{TA_2}\ge \sqrt{3} $ Cho $A_1 $ di động nếu$ A_1 $ trùng T thì thỏa mãn nếu $ A_1 $ ko trùng T thì ta có$ A_1A_4>TA_4 $ (áp dụng hình chiếu). Khi đó
Xét trường hợp còn lại đó là 4 đỉnh còn lại cùng thuộc đường tròn tâm A bán kính $AA_1 $ ta cũng xét $\frac{A_1A_4}{TA_2}> \sqrt{3} $ Thỏa mãn bài toán

**Traum** · 22-09-2011, 02:21 AM

Bổ đề: Trong một tam giác có một góc $\ge 120^o $ thì tỉ số giữa cạnh lớn nhất và nhỏ nhất $\ge \sqrt{3} $.

Chứng minh: gọi độ dài các cạnh của tam giác là $a\ge b \ge c $ và $a $ là cạnh đối diện với góc lớn nhất. Ta có $a^2 = b^2 -2bc\cos{A}+c^2\ge c^2+c^2+c^2=3c^2 $ ĐPCM.

Trở lại bài toán:
Nếu có $3 $ điểm nào thẳng hàng thì kết luận bài toán hiển nhiên đúng.
Ta chỉ xét ở đây cho trường hợp không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét bao lồi của $6 $ điểm đó là đa giác $T $. Nếu $T $ có $6 $ đỉnh. Thì như đã biết tổng các góc ở các đỉnh của $T $ là $720^o $ do đó có ít nhất một góc $\ge 120^o $. Theo bổ đề ta có ĐPCM.
Trường hợp $T $ có nhiều nhất là $5 $ đỉnh. Thì có nghĩa là miền trong của $T $ có ít nhất một điểm $X $. Phân hoạch $T $ thành các hình tam giác đôi một không có điểm chung, thì điểm $X $ thuộc về ít nhất một trong các tam giác đó, giả sử là $MNP. $ Hiển nhiên một trong $3 $ góc $MXN $, $NXP,PXM $ phải $\ge 120^o $ và ta có ĐPCM.

21-09-2011, 07:44 PM	#1
man1995 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Đến từ: quang ngai Bài gởi: 93 Thanks: 82 Thanked 28 Times in 14 Posts	Tổ hợp lồi Trong mặt phẳng có 6 điểm phân biệt . Với mỗi hai điểm trong chúng ta nối thành 1 đoạn thẳng . Chứng minh rằng tỉ số giữa đoạn thẳng dài nhất với đoạn thẳng ngắn nhất lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{3} $ thay đổi nội dung bởi: man1995, 21-09-2011 lúc 07:51 PM

21-09-2011, 11:59 PM	#3
Lê Thế Long Banned Tham gia ngày: Aug 2011 Đến từ: Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Ninh Thuận Bài gởi: 96 Thanks: 179 Thanked 20 Times in 15 Posts	Giả sử 6 điểm đó lần lượt là $A;A_1;A_2;A_3;A_4;A_5 $ .Theo nguyên lí cực hạn tồn tại 1 cạnh lớn nhất giả sử đó là $A_1A $. Không mất tính tổng quát, ta kẻ một đường tròn tâm $A $ bán kính $A_1A =\sqrt{3}k $ trong đó$ k\in R $.Lại kẻ một đường tròn tâm $A $bán kính k. Bây giờ nếu như 4 điểm còn lại nằm trên đường tròn tâm A bán kính k thì bài toán dễ dàng chứng minh xong. Xét trường hợp 4 điểm còn lại nằm trong vành có khoảng cách giữa 2 đường tròn$(\sqrt{3}-1) $. Nếu trong 4 điểm này tồn tại 2 điểm có khoảng cách là k thì bài toán chứng minh xong. Xét trường hợp 4 điểm này phân biệt và có khoảng cách với nhau lớn hơn k không mất tính tổng quát giả sử đó 4 đỉnh đó lần lượt theo thứ tự là $A_2;A_3;A_4;A_5 $thì ta sẽ có ngay điều cần chứng minh giả sử 4 đỉnh đó không thẳng hàng thì Ta có đường chéo của đa giác trên sẽ lớn hơn$ 2k $(Tồn tại 1góc lớn hơn 90 ápđụng hàm số cosin) hay nói khác đi sẽ có 2 đỉnh nằm lần lượt trên và dưới của đường kính đường tròn k giả sử điểm nằm trên là$ A_2 $nằm dưới là $A_4 $ thì vì các khoảng cách giữa các đỉnh đều bằng nhau và bằng k nên 2 điểm này phải đối xứnggọi giao điểm gần $A_2 $nhất của $A_2A_4 $ với đường tròn tâm là $\sqrt{3}k $ là T thì ta có $\frac{TA_4}{TA_2}\ge \sqrt{3} $ Cho $A_1 $ di động nếu$ A_1 $ trùng T thì thỏa mãn nếu $ A_1 $ ko trùng T thì ta có$ A_1A_4>TA_4 $ (áp dụng hình chiếu). Khi đó Xét trường hợp còn lại đó là 4 đỉnh còn lại cùng thuộc đường tròn tâm A bán kính $AA_1 $ ta cũng xét $\frac{A_1A_4}{TA_2}> \sqrt{3} $ Thỏa mãn bài toán thay đổi nội dung bởi: Lê Thế Long, 22-09-2011 lúc 10:43 AM

22-09-2011, 02:21 AM	#4
Traum Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts	Bổ đề: Trong một tam giác có một góc $\ge 120^o $ thì tỉ số giữa cạnh lớn nhất và nhỏ nhất $\ge \sqrt{3} $. Chứng minh: gọi độ dài các cạnh của tam giác là $a\ge b \ge c $ và $a $ là cạnh đối diện với góc lớn nhất. Ta có $a^2 = b^2 -2bc\cos{A}+c^2\ge c^2+c^2+c^2=3c^2 $ ĐPCM. Trở lại bài toán: Nếu có $3 $ điểm nào thẳng hàng thì kết luận bài toán hiển nhiên đúng. Ta chỉ xét ở đây cho trường hợp không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét bao lồi của $6 $ điểm đó là đa giác $T $. Nếu $T $ có $6 $ đỉnh. Thì như đã biết tổng các góc ở các đỉnh của $T $ là $720^o $ do đó có ít nhất một góc $\ge 120^o $. Theo bổ đề ta có ĐPCM. Trường hợp $T $ có nhiều nhất là $5 $ đỉnh. Thì có nghĩa là miền trong của $T $ có ít nhất một điểm $X $. Phân hoạch $T $ thành các hình tam giác đôi một không có điểm chung, thì điểm $X $ thuộc về ít nhất một trong các tam giác đó, giả sử là $MNP. $ Hiển nhiên một trong $3 $ góc $MXN $, $NXP,PXM $ phải $\ge 120^o $ và ta có ĐPCM. __________________ Traum is giấc mơ.