tìm đa thức thỏa điều kiện

[minhhoadn]

:nemoflow:xf(x-1)=(x-3)f(x),với mọi x thuộc R
:secretsmile:mong các bác tận tình chỉ bảo em nhiều hơn :burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi minhhoadn

:nemoflow:xf(x-1)=(x-3)f(x),với mọi x thuộc R
:secretsmile:mong các bác tận tình chỉ bảo em nhiều hơn :burnjossstick:

[TEX]
để ta chỉ bảo cho H cần chi mấy anh pro:secretsmile:
cho $x=0 $ ta có $f(0)=0 $
cho $x=1 $ ta suy ra $f(0)=-2f(1) $ hay $f(1)=0 $
cho$ x=2 $ ta cũng được $f(2)=0 $
do đó $f(x) $ là đa thức có các nghiệm là $0,1,2 $ thế thì
$f(x)=x(x-1)(x-2)C(x) $ thay lại vào đẳng thức ban đầu được
$x(x-1)(x-2)(x-3)C(x-1)=(x-3)(x-2)(x-1)xC(x) $
suy ra $C(x)=C(x-1) $
vì f la đa thức nên C cũng là 1 đa thức do đó $C(x)=const $
vậy $f(x)=x(x-1)(x-2)C $ với C là 1 số thực bất kì:nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhhoadn]

nhanh nhảy đã từng làm rồi hả cho bài khác đây
f:Q->Q thỏa f(f(x)+y)=x+f(y) x,y thuộc Q
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhhoadn]

bác Q làm đi nhé đang trên mạng hả làm song về đi cu hết tiền bay giờ có cu nhat ở đó ko hả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi minhhoadn

nhanh nhảy đã từng làm rồi hả cho bài khác đây
f:Q->Q thỏa $f(f(x)+y)=x+f(y) $ $x,y{\in}Q $

để ta giải quyết luôn cho , ta ghiền PTH lém:biggrin:
cho $y=0 $ ta được $f(f(x))=x+f(0) $ do đó f là đơn ánh trên Q
lại cho $x=0 $ được $f(f(0)+y)=f(y) $ do f là đơn ánh nên $f(0)+y=y $ suy ra $f(0)=0 $
vấy $f(f(x))=x $ với mọi $x{\in}Q $
thay y bởi f(y) ta được $f(f(x)+f(y))=x+f(f(y))=x+y=f(f(x+y)) $
do f đơn ánh suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y) $ với mọi $x,y{\in}Q $
Đây là hàm cộng tính nè.Dễ dàng c/m $f(nx)=nf(x) $ bằng quy nạp:burnjossstick:
ta chứng minh $f(x)=kx $ với $x{\in}N $
thật vậy ta có $f(0)=0 $ do đó $f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x) $ suy ra $f(-x)=-f(x) $ hay f là hàm lẻ
ta có $f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-2+1)+f(1)=f(x-2)+2f(1)=......=
=f(0)+xf(1)=kx $ với $f(1)=k $
vậy $f(x)=kx $ với $x{\in}N $
ta c/m $f(x)=kx $ với $x{\in}Q $
ta có $k=f(1)=f(x.{\frac{1}{x}})=x.f({\frac{1}{x}}) $ suy ra $f({\frac{1}{x}})={\frac{k}{n}} $
vì thế với mọi số hữu tỉ $\frac{m}{n}{\in}Q* $
$f({\frac{m}{n}})=f(m.{\frac{1}{n}})=m.f({\frac{1}{ n}})=k.{\frac{m}{n}} $
Do f lẻ nên ta suy ra kết quả trên cũng đúng với mọi $x<0 $
Vậy $f(x)=kx $ với mọi $x{\in}Q $ và $f(1)=k $:nemoflow:
chết cha quên tính f(1)
tinh luôn cho roaj`hj`hj`:
$1=f(f(1))=f(1).f(1)-->f(1)=1 $ hoặc $f(1)=-1 $
vậy $f(x)=x $ và $f(x)=-x $ la hai hàm cần tìm:nemoflow:
sorry Hòa nha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhhoadn]

mi làm gì dài dòng làm ta hoa cả mắt kết quả cuối cùng của Q đúng nhưng chưa đủ đâu còn thiếu f(x)=.......... tự nghĩ tiếp đi nhé mà hơi dài đó nghe
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Mời làm thử bài này:
Tìm đa thức thỏa mãn: $f(x)^2+1=f(x^2+1)\forall x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi let

Mời làm thử bài này:
Tìm đa thức thỏa mãn: $f(x)^2+1=f(x^2+1)\forall x $

em làm không biết đúng hay sai nữa nếu sai mong được các anh chỉ giáo:facebowling:
Xét $degf(x)=0 $ thì f(x)=C thế vào được C^2+1=C(vô lí)
Xét $degf(x){\ge}1 $ , giả sử
$f(x)=a_n.x^n+....+a_1.x+a_0 $ với $a_n{\neq}0 $
cân bằng hệ số cao nhất được $a_n={\pm}1 $
bây giờ giả sử tồn tại một số nguyên $0<k<n $ mà $a_k{\neq}0 $ ta cân bằng hệ số đi với $x^{n+k} $
ta được $2a_n.a_k=0 $ (mâu thuãn)
vậy $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0 $
từ đó được $f(x)={\pm}x $
không biết có đung không nữa sai đừng chửi em :burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Hàm số $f(x)=x^2+1 $ cũng thỏa mãn bài toán!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi conan236

em làm không biết đúng hay sai nữa nếu sai mong được các anh chỉ giáo:facebowling:
Xét $degf(x)=0 $ thì f(x)=C thế vào được C^2+1=C(vô lí)
Xét $degf(x){\ge}1 $ , giả sử
$f(x)=a_n.x^n+....+a_1.x+a_0 $ với $a_n{\neq}0 $
cân bằng hệ số cao nhất được $a_n={\pm}1 $
bây giờ giả sử tồn tại một số nguyên $0<k<n $ mà $a_k{\neq}0 $ ta cân bằng hệ số đi với $x^{n+k} $
ta được $2a_n.a_k=0 $ (mâu thuãn)
vậy $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0 $
từ đó được $f(x)={\pm}x $
không biết có đung không nữa sai đừng chửi em :burnjossstick:

do vôi vàng nên mình thiếu nghiệm sorry nha:adore:
Xét $degf(x)=0 $ thì f(x)=C thế vào được C^2+1=C(vô lí)
Xét $degf(x){\ge}1 $ , giả sử
$f(x)=a_n.x^n+....+a_1.x+a_0 $ với $a_n{\neq}0 $
cân bằng hệ số cao nhất được $a_n=1 $
bây giờ giả sử tồn tại một số nguyên $0<k<n $ mà $a_k{\neq}0 $ ta cân bằng hệ số đi với $x^{n+k} $
ta được $2a_n.a_k=0 $ (mâu thuãn)
vậy $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0 $
vậy $f(x)=x^n+a_0 $
thay vào PTH ban đầu va cho $x=0 $ thì được $a_0=0 $ hoặc $a_0=1 $
Do đó $f(x)=x^n $ hoặc $f(x)=x^n+1 $
Nếu f(x)=x^n thay vào PTH ta suy ra $[f(x)]^2+1=x^{2n}+1 $ còn $f(x^2+1)=(x^2+1)^n $đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $n=1 $
vậy trong TH này $f(x)=x $ nhưng do f(x) lẻ hoặc chẵn nên $f(x)=-x $ thế lại vào PTH thì ko thỏa
Nếu $f(x)=x^n+1 $ thì $[f(x)]^2+1=(x^n+1)^n+1 $ còn $f(x^2+1)=(x^2+1)^n+1 $đẳng thức xảy khi và chỉ khi x=2
nhưng do f(x) lẻ hoặc chẵn nên $f(x)=-x^2-1 $ hoặc $f(x)=x^2-1 $ nhưng hai hàm này ko thỏa đề bài
Vậy tất cả các hàm thỏa đề bài là
$f(x)=x ; f(x)=x^2+1 $:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Dãy các đa thức sau thỏa mãn:
$f_0(x)=x,f_{n+1}(x)=f_n(x)^2+1 $
$f(x)=-x $ không thỏa mãn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi let

Dãy các đa thức sau thỏa mãn:
$f_0(x)=x,f_{n+1}(x)=f_n(x)^2+1 $
$f(x)=-x $ không thỏa mãn!

sorry nghiệm $f(x)=-x $ mình quên thử lại mình sửa roài đó:burnjossstick:
đáp án của bạn chẳng qua là dạng tổng quát của mình thoai mà
mình nghĩ từ kết quả của mình c/m quy nạp thỉ ra kết quả cậu đó:biggrin:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vitcon]

có ai tổng quát dc bài xP(x-a)=(x-b)P(x) ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhhoadn]

bài này bác làm tương tự như trên thôi nhưng thay số thành tham số a,b thay x=0 ;x=b; x=b-a
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Nguyên văn bởi conan236

sorry nghiệm $f(x)=-x $ mình quên thử lại mình sửa roài đó:burnjossstick:
đáp án của bạn chẳng qua là dạng tổng quát của mình thoai mà
mình nghĩ từ kết quả của mình c/m quy nạp thỉ ra kết quả cậu đó:biggrin:

Cách chứng minh của bạn chỉ ra các hệ số $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0 $ là sai rồi, bạn xem lại chỗ cân bằng đó đi, nó chỉ ra được $ a_n=0,a_{n-1}=a_{n-3}=..=0 $ thôi còn $a_{n-2},a_{n-4},...\neq 0 $ đấy!
Ví dụ $(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2 $ thỏa mãn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]