Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012 - Page 3

**Traum** · 23-02-2012, 07:30 PM

Bài 9: (Gray Coding in Communication)

Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh

a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2)

b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2.

kien10a1 · 23-02-2012, 09:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi cleverboy

Em xin giải bài 10. Em đánh vội nên nếu khó đọc thì mong thầy thông cảm cho em!

Em nghĩ có cách đơn giản hơn

Gọi K là trung điểm AI thì K thuộc (I), tiếp tuyến KS của (I) với S trên BC là trung trực AI, SK cắt lại cung AB không chứa C tại P thì C,I, P thẳng hàng.
vẽ SI cắt (CPS) tại O', suy ra O'P=O'C, và $\widehat{SO'C}= \widehat{SPC}=\widehat{NBC } $ nên O'ICB nội tiếp, dễ thấy O cũng thuộc trung trực PC, và $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120=\widehat{BIC} $ , nên O trùng O', suy ra ĐPCM

**namdung** · 23-02-2012, 10:52 PM

Các bạn thân mến, như vậy là đã có kết quả sơ bộ VMO (dù là từ các nguồn thông tin rời rạc). Có lẽ chỉ ngày mai thôi là sẽ có kết quả chính thức. Trong số các thí sinh, sẽ có những người đạt giải, được tham dự kỳ thi TST, có thí sinh chỉ đạt giải ba, giải KK, và cũng có rất nhiều thí sinh không đạt giải. Đó cũng là chuyện bình thường trong bất kỳ một cuộc thi nào. Có bạn nào đó sẽ cảm thấy nuối tiếc vì đã không làm bài đúng phong độ, đã trình bày không thật tốt, đã sai sót trong tính toán. Tuy nhiên, tất cả rồi sẽ qua đi và những điều tốt đẹp nhất sẽ vẫn còn đọng lại. Ôn luyện cho VMO, các bạn đã học được nhiều kiến thức mới, được thử thách với những bài toán khó, được tư duy, được làm việc và được chuẩn bị cho những thách thức lớn lao hơn còn ở phía trước.

Vì thế, sau khi biết kết quả chính thức VMO, hãy tiếp tục làm tốt các công việc của mình. Các bạn lọt vào Top 42 sẽ chuẩn bị cho kỳ thi chọn đội tuyển. Các bạn còn lại (lớp 12) sẽ ôn thi tốt nghiệp và ôn thi ĐH, các bạn lớp 11 sẽ tìm cách giữ lửa để tiếp tục cho kỳ thi năm sau (hoặc một số bạn sẽ chọn một con đường khác). Các bạn đã cố gắng làm tốt các công việc đã qua, vậy thì hãy tiếp tục cố gắng với những công việc đang tới. Luôn luôn gắng sức và luôn hướng về phía trước. Đó là bí quyết đơn giản của những người thành công.

**namdung** · 24-02-2012, 05:15 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hotraitim

Bài 8:Giải phương trình
$25x+9\sqrt{9x^{2}-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^{2}+1} $

Bài này không hợp với màu sắc TST (từ rất lâu TST không có chủ đề phương trình thuần túy như thế này).

Cách giải:
1) Chứng minh phương trình không có nghiệm x >0 (khá dễ dàng)
2) Chứng minh vế trái trừ vế phải là hàm giảm với x < 0 (cái này cũng không khó lắm)
3) Nhận xét $-\frac{\sqrt{2}}{2} $ là nghiệm của phương trình (cái này khó nhất)

Các bạn cũng chú ý một chút về đánh số bài. Hiện giờ bắt đầu lộn xộn rồi.

**huynhcongbang** · 24-02-2012, 10:33 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Traum

Bài 9: (Gray Coding in Communication)

Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh

a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2)

b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2.

Câu a) thì có thể dùng quy nạp.
Để dự đoán, ta xếp thử vài trường hợp đơn giản:
$N=2 $ thì:
1 3
2 4
Với $N=3 $ thì xếp tương tự theo vòng trên (hình dung đa giác theo chiều từ trái sang đến hết hàng thứ nhất rồi từ phải sang đến hết hàng thứ hai):
4 2 1 3
8 6 5 7
Như thế, ta có thể giải như sau:

- Với $N=1 $, khẳng định hiển nhiên đúng.
- Giả sử khẳng định đúng đến $N=K \ge 1 $ và ta đã xếp được $1, 2, 3, ..., 2^k $ theo thứ tự $a_1, a_2, a_3, ..., a_{2^k} $ trên đa giác $2^k $ cạnh thoả mãn đề bài.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_{2^k} = 2^k} $.
Ta cắt đa giác đó ngay tại số $2^k $ và đặt tất cả các số này lên đa giác $2^{k+1} $ cạnh với đúng thứ tự đó.
Ta cần điền các số từ $2^k+1, 2^k+2,..., 2^{k+1} $ lên các vị trí còn lại.
Ta điền các số lên, bắt đầu từ vị trí liền kề đầu mút là số $2^k $ theo thứ tự sau:
$a_{2^k} + 2^k, a_{2^k-1} + 2^k, a_{2^k-2} + 2^k, ..., a_{1} + 2^k $.
Nói chung là lấy đối xứng các số kia qua rồi công thêm $2^k $ vào từng số.
Như thế, ta đã điền được $2^k $ còn lại vào đa giác $2^{k+1} $ cạnh và khẳng định đúng trong trường hợp $N=k+1 $.
Theo quy nạp, ta có đpcm.

b) Giải tương tự theo ý tưởng quy nạp.
Đầu tiên, xếp các số vào bảng theo kiểu:
1 2
3 4
Sau đó xây dựng các bảng khác từ bảng con này theo đúng mô hình đó và chú ý lấy đối xứng qua như câu a ở trên.
VD xây dựng bảng 4x4 như sau:
1 2 6 5
3 4 8 7
11 12 16 15
9 10 14 13

P/s: Không ai quan tâm bài TST 1990 hết à. Hix!

**chemthan** · 24-02-2012, 11:45 AM

Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình :
$x^2+15y^2=4^n $.
Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn :
$2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $.

**namdung** · 24-02-2012, 11:47 AM

Bài của Traum câu a) có thể phát biểu là: Chứng minh hình lập phương n chiều $Q^n $ có chu trình Hamilton. Từ đó ý tưởng quy nạp là rất rõ ràng.

Win-DungDan · 24-02-2012, 07:35 PM

Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .

than-dong · 24-02-2012, 07:43 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Win-DungDan

Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .

Cảm ơn thầy đã đưa lên :
Bài này em thấy hình như dấu đẳng thức không xảy ra tại tâm , cụ thể hơn là $\[a\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7},b\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7},c\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7}\] $.

**namdung** · 24-02-2012, 08:20 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chemthan

Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình :
$x^2+15y^2=4^n $.

Bài này liên quan đến bài 4 của VMO 2010 (năm chemthan đoạt HCV IMO). Đáp số có lẽ là n-1. Quy về việc chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có đúng 1 nghiệm với x lẻ với mọi $n \ge 2 $.
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Em nghĩ có cách đơn giản hơn

Gọi K là trung điểm AI thì K thuộc (I), tiếp tuyến KS của (I) với S trên BC là trung trực AI, SK cắt lại cung AB không chứa C tại P thì C,I, P thẳng hàng.
vẽ SI cắt (CPS) tại O', suy ra O'P=O'C, và $\widehat{SO'C}= \widehat{SPC}=\widehat{NBC } $ nên O'ICB nội tiếp, dễ thấy O cũng thuộc trung trực PC, và $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120=\widehat{BIC} $ , nên O trùng O', suy ra ĐPCM

Cảm ơn Kiên. Đúng là có cách như vậy.

Bài này còn có một cách dùng tâm đẳng phương như sau: (do Trần Hoàng Bảo Linh, HS 11 chuyên toán trường PTNK đề xuất)

Nối dài BI cắt (O) tại D, CI cắt (O) tại E.

Khi đó ta có EA = EI, DA = DI (tính chất quen thuộc). Suy ra ED là trung trực AI.

Dùng góc (và điều kiện $A = 60^0 $) dễ dàng chứng minh được O, I, B, C cùng nằm trên 1 đường tròn (C1)và O, I, D, E cùng nằm trên một đường tròn (C2). Suy ra ED, OI, BC là các trục đẳng phương của (O) và (C2), (C1) và (C2), (O) và (C1) suy ra chúng đồng quy.

nghiepdu-socap · 24-02-2012, 09:56 PM

Em nghĩ câu b có bài 9 có thể quy nạp dựa vào câu a
Với bảng $2^N\times2^N $ ta xét dãy đã xây dựng ở câu a với độ dài $2^{2N} $
Gọi các số hạng là $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^{2N}} $ Ta sắp xếp các số vào bảng như sau:
Ở hàng đầu tiên từ trái qua phải: $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^N} $
Ở hàng thứ 2 từ phải sang trái: $a_{2^N+1}, a_{2^N+2},...,a_{2^{N+1}} $
Ở hàng thứ 3 từ trái sang phải ...........
VD vơi bảng $4\times4 $
4 2 1 3
8 6 5 7
16 14 13 15
12 10 9 11
Tương ứng với dãy: 4, 2, 3, 1, 5, 7, 6, 8, 16, 14, 13, 15, 11, 9, 10, 12.
Dễ thấy cách xây dựng bảng này thỏa mãn do cách xây dựng dãy

king_math96 · 26-02-2012, 04:25 AM

Trích:

Bài 10: Với mỗi số nguyên dương n tìm số nghiệm của phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Bài này liên quan đến bài 4 của VMO 2010 (năm chemthan đoạt HCV IMO). Đáp số có lẽ là n-1. Quy về việc chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có đúng 1 nghiệm với x lẻ với mọi $n \ge 2 $.

Thưa thầy, bài VMO là yêu cầu CM phương trình có ít nhất n nghiệm còn bài này là tìm số nghiệm của phương trình!

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^2+y^2+x+y+1=xyz $

**namdung** · 26-02-2012, 06:34 AM

Trích:

Nguyên văn bởi king_math96

Thưa thầy, bài VMO là yêu cầu CM phương trình có ít nhất n nghiệm còn bài này là tìm số nghiệm của phương trình!

[/TEX]

Chào em, vì thế tôi mới nói là liên quan.

Chú ý là bài VMO yêu cầu chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có ít nhất n nghiệm tự nhiên. Trong số các nghiệm tự nhiên có 1 nghiệm với $xy = 0 $ là $(2^n, 0) $, do đó có ít nhất n-1 nghiệm nguyên dương (với $n \ge 2 $). Vấn đề của bài toán chemthan đặt ra là ngoài n-1 nghiệm này còn có nghiệm nào khác không?. (Xem lời giải VMO 2010 để biết cách xây dựng các nghiệm này).

Chú ý là nếu ta chứng minh được chỉ có n-1 nghiệm thì có khả năng sẽ mô tả được tất cả các nghiệm. Quả là rất thú vị. Cảm ơn chemthan!

kien10a1 · 26-02-2012, 11:26 AM

Bài 10: Theo em thì đáp số đúng là n-1 nghiệm nguyên dương, và ta cũng chỉ cần cm phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^n $ có duy nhất nghiệm lẻ là đủ.
Từ phương trình có nếu x,y là nghiệm lẻ thì (x-y)(x+y) chia hết cho 16, suy ra hoặc x-y, hoặc x+y là bội của 8.
Giả sử có a,b,x,y nguyên dương lẻ mà $x^{2}+15y^{2}=4^n=a^{2}+15b^{2} $
Ta xét các trường hợp sau:
+, $a\equiv b(mod8),x\equiv y(mod8) $
Khi đó $ay+bx\equiv 2(mod4) $ mà ta lại có $(ay+bx)(ax+15by)= (a^{2}+15b^{2})xy+ ab(x^{2}+15y^{2})=4^n(xy+ab) $ nên ax+by là bội của 4^n, dễ dàng xử lí bằng cauchy- schawz để có a=x, b=y
+,$a\equiv- b(mod8),x\equiv -y(mod8) $, tương tự trên, vẫn có $ay+bx\equiv 2(mod4) $
+, cuối cùng, giả sử $a\equiv- b(mod8),x\equiv y(mod8) $
trường hợp này có thể lùi lại bằng 2 công thức trong bài VMO 2010, và suy ra pt $x^{2}+15y^{2}=4^(n-1) $ có 2 nghiệm lẻ phân biệt, vô lí.

VengefulSpirit · 26-02-2012, 02:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chemthan

Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn :
$2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $.

Gọi $P(x)=(x-1)^kQ(x) $ với $Q(1)\neq 0 $
Ta có $v_2(3^{2^n}-1)=n+1 $ (*)
Mà $2^{2^n}\mid P(3^{2^n}) $ hay $2^{2^n}\mid(3^{2^n}-1)^kQ(3^{2^n}) $
Chọn $ n $ đủ lớn để $2^n>(n+1)k $ ta có:
$2^{2^n-nk}\mid Q(3^{2^n}) $
Ta có:$2^{n+1}\mid Q(3^{2^n})-Q(1) $
Nên$ 2^{2^n-nk}\mid Q(1) $
Mà $2^n-nk \to +\infty $nên $Q(1)=0 $ hay $Q(x)=const $ vậy
$P(x)=a(x-1)^k $ tiếp tục sử dụng (*) để biện luận $k $ là xong.

23-02-2012, 07:30 PM	#31
Traum Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts	Bài 9: (Gray Coding in Communication) Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2) b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2. __________________ Traum is giấc mơ.

24-02-2012, 07:35 PM	#38
Win-DungDan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: Bốn phưong đều là nhà Bài gởi: 9 Thanks: 9 Thanked 5 Times in 4 Posts	Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm: Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng: $\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ . __________________ Đứa con của thần gió

26-02-2012, 11:26 AM	#44
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài 10: Theo em thì đáp số đúng là n-1 nghiệm nguyên dương, và ta cũng chỉ cần cm phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^n $ có duy nhất nghiệm lẻ là đủ. Từ phương trình có nếu x,y là nghiệm lẻ thì (x-y)(x+y) chia hết cho 16, suy ra hoặc x-y, hoặc x+y là bội của 8. Giả sử có a,b,x,y nguyên dương lẻ mà $x^{2}+15y^{2}=4^n=a^{2}+15b^{2} $ Ta xét các trường hợp sau: +, $a\equiv b(mod8),x\equiv y(mod8) $ Khi đó $ay+bx\equiv 2(mod4) $ mà ta lại có $(ay+bx)(ax+15by)= (a^{2}+15b^{2})xy+ ab(x^{2}+15y^{2})=4^n(xy+ab) $ nên ax+by là bội của 4^n, dễ dàng xử lí bằng cauchy- schawz để có a=x, b=y +,$a\equiv- b(mod8),x\equiv -y(mod8) $, tương tự trên, vẫn có $ay+bx\equiv 2(mod4) $ +, cuối cùng, giả sử $a\equiv- b(mod8),x\equiv y(mod8) $ trường hợp này có thể lùi lại bằng 2 công thức trong bài VMO 2010, và suy ra pt $x^{2}+15y^{2}=4^(n-1) $ có 2 nghiệm lẻ phân biệt, vô lí. Chỗ này có vẻ có vấn đề __________________ Quay về với nơi bắt đầu

23-02-2012, 10:52 PM	#33
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Các bạn thân mến, như vậy là đã có kết quả sơ bộ VMO (dù là từ các nguồn thông tin rời rạc). Có lẽ chỉ ngày mai thôi là sẽ có kết quả chính thức. Trong số các thí sinh, sẽ có những người đạt giải, được tham dự kỳ thi TST, có thí sinh chỉ đạt giải ba, giải KK, và cũng có rất nhiều thí sinh không đạt giải. Đó cũng là chuyện bình thường trong bất kỳ một cuộc thi nào. Có bạn nào đó sẽ cảm thấy nuối tiếc vì đã không làm bài đúng phong độ, đã trình bày không thật tốt, đã sai sót trong tính toán. Tuy nhiên, tất cả rồi sẽ qua đi và những điều tốt đẹp nhất sẽ vẫn còn đọng lại. Ôn luyện cho VMO, các bạn đã học được nhiều kiến thức mới, được thử thách với những bài toán khó, được tư duy, được làm việc và được chuẩn bị cho những thách thức lớn lao hơn còn ở phía trước. Vì thế, sau khi biết kết quả chính thức VMO, hãy tiếp tục làm tốt các công việc của mình. Các bạn lọt vào Top 42 sẽ chuẩn bị cho kỳ thi chọn đội tuyển. Các bạn còn lại (lớp 12) sẽ ôn thi tốt nghiệp và ôn thi ĐH, các bạn lớp 11 sẽ tìm cách giữ lửa để tiếp tục cho kỳ thi năm sau (hoặc một số bạn sẽ chọn một con đường khác). Các bạn đã cố gắng làm tốt các công việc đã qua, vậy thì hãy tiếp tục cố gắng với những công việc đang tới. Luôn luôn gắng sức và luôn hướng về phía trước. Đó là bí quyết đơn giản của những người thành công.

24-02-2012, 11:45 AM	#36
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình : $x^2+15y^2=4^n $. Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn : $2^n\|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $.

24-02-2012, 11:47 AM	#37
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Bài của Traum câu a) có thể phát biểu là: Chứng minh hình lập phương n chiều $Q^n $ có chu trình Hamilton. Từ đó ý tưởng quy nạp là rất rõ ràng.

24-02-2012, 09:56 PM	#41
nghiepdu-socap +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 193 Thanks: 195 Thanked 129 Times in 72 Posts	Em nghĩ câu b có bài 9 có thể quy nạp dựa vào câu a Với bảng $2^N\times2^N $ ta xét dãy đã xây dựng ở câu a với độ dài $2^{2N} $ Gọi các số hạng là $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^{2N}} $ Ta sắp xếp các số vào bảng như sau: Ở hàng đầu tiên từ trái qua phải: $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^N} $ Ở hàng thứ 2 từ phải sang trái: $a_{2^N+1}, a_{2^N+2},...,a_{2^{N+1}} $ Ở hàng thứ 3 từ trái sang phải ........... VD vơi bảng $4\times4 $ 4 2 1 3 8 6 5 7 16 14 13 15 12 10 9 11 Tương ứng với dãy: 4, 2, 3, 1, 5, 7, 6, 8, 16, 14, 13, 15, 11, 9, 10, 12. Dễ thấy cách xây dựng bảng này thỏa mãn do cách xây dựng dãy