Bổ đề giải tích hàm

[MathForLife]

Cho $N$ là một không gian vecto con đóng của không gian định chuẩn $E$ và $x\in E\backslash N$. Chứng minh có $f \in L(E,\phi)$ sao cho $f(N)={0}$ và $f(x)=1$.
Cho em, mình xin bài giải và ý tưởng. Giải tích hàm khó .
Như bài toán trên chỉ có em, mình nghĩ tới định lí sau nhưng không làm gì được sau đó:
Cho $M$ là một không gian vecto con của khôn gian định chuẩn $X$ và $x_{0}\in X$. Ta có $x_{0}$ nằm trong bao đóng của M nếu và chỉ nếu không tồn tại $f\in X*$ sao cho $f(x)=0$ với mọi $x\in M$ nhưng $f(x_{0})\neq 0$
Bài phía trên còn là tiền đề cho bài này(em, mình nghĩ vậy)
Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là $n$ vecto độc lập tuyến tính trong ột không gian định chuẩn $E.$ Chứng minh có $f_{1},..,f_{n}$ trong $L(E,\phi)$ sao cho $f_{i}(x_{j})=\delta_{i}^{j}$. ( kí hiệu kronecker)
*Trong đó E là không gian định chuẩn trên $\phi$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi MathForLife

Cho $N$ là một không gian vecto con đóng của không gian định chuẩn $E$ và $x\in E\backslash N$. Chứng minh có $f \in L(E,\phi)$ sao cho $f(N)={0}$ và $f(x)=1$.
Cho em, mình xin bài giải và ý tưởng. Giải tích hàm khó .
Như bài toán trên chỉ có em, mình nghĩ tới định lí sau nhưng không làm gì được sau đó:
Cho $M$ là một không gian vecto con của khôn gian định chuẩn $X$ và $x_{0}\in X$. Ta có $x_{0}$ nằm trong bao đóng của M nếu và chỉ nếu không tồn tại $f\in X*$ sao cho $f(x)=0$ với mọi $x\in M$ nhưng $f(x_{0})\neq 0$
Bài phía trên còn là tiền đề cho bài này(em, mình nghĩ vậy)
Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là $n$ vecto độc lập tuyến tính trong ột không gian định chuẩn $E.$ Chứng minh $f_{1},..,f_{n}$ trong $L(E,\phi)$ sao cho $f_{i}(x_{j})=\delta_{i}^{j}$. ( kí hiệu kronecker)
*Trong đó E là không gian định chuẩn trên $\phi$

Kết quả này chính là [Only registered and activated users can see links. ]. Cách chứng minh tổng quát trong không gian topo khá phức tạp, tuy nhiên trong không gian metric thì đơn giản hơn nhiều. Ở đây ta chỉ cần xét hàm
$$ f(u) = \dfrac{d(u,N)}{d(u,N) + d(u,x)} $$
là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi novae

Kết quả này chính là [Only registered and activated users can see links. ]. Cách chứng minh tổng quát trong không gian topo khá phức tạp, tuy nhiên trong không gian metric thì đơn giản hơn nhiều. Ở đây ta chỉ cần xét hàm
$$ f(u) = \dfrac{d(u,N)}{d(u,N) + d(u,x)} $$
là xong.

Mình nghĩ đề bài còn yêu cầu thêm tính tuyến tính của hàm $f$ nữa, khi đó đây chính là một dạng đơn giản của định lý Hahn-Banach.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi novae

Kết quả này chính là [Only registered and activated users can see links. ]. Cách chứng minh tổng quát trong không gian topo khá phức tạp, tuy nhiên trong không gian metric thì đơn giản hơn nhiều. Ở đây ta chỉ cần xét hàm
$$ f(u) = \dfrac{d(u,N)}{d(u,N) + d(u,x)} $$
là xong.

Trường hợp $u$ thuộc E\N thì sao $f(u)=1$ anh?Mà tại sao anh lại tìm ra được hàm $f$ như thế?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]