Hội tụ của chuỗi điều hoà

[elfking]

Ai cũng biết chuỗi
$\sum x^n/n $
không hội tụ khi $x=1 $. Chứng minh rằng chuỗi này hội tụ có điều kiện cho bất kì $|x|=1 $ nào khác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nghĩa là với mọi $|x| = 1$ mà $x\neq 1,$ thì chuỗi đã cho hội tụ. Bài toán đẩy về chuỗi lượng giác, nhưng 99 chưa nghĩ ra cách Ở ngôn ngữ hàm phức thì có nghĩa đây là một hàm chỉnh hình trên đĩa $D = \{z\in \mathbb{C}~:~ |z|<1\}$ thác triển liên tục lên đường tròn $\mathbb{S}^1 \backslash\{1\}$ (phát biểu như thế nghe hoành tráng hơn tý ).

@elfking : em nên dùng thẻ $ cho tiện.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[elfking]

Em nghĩ là có thể dùng $\sum x^n/n=-log(1-x)$ khi $x<1$ để chứng minh là chuỗi bị chặn khi ở gần $e^{i\theta}$, nhưng mà không rành hội tụ có điều kiện nên không viết được chứng minh mà cũng chả biết làm thế có đúng không.
Thứ hai nữa là em định dùng cái này để chứng minh L-hàm Dirichlet là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức, còn hàm Riemann zeta lại có cực ở 0 và 1. Vấn đề là khi mình chọn $x=e^{i\theta}$ thì tử số vẫn không hoàn toàn giống với bất cứ một cái Dirichlet character nào. Em không biết là có cách nào so sánh chuỗi điều hoà ở trên với L-hàm Dirichlet ở điểm $s=1$ không.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Ừm, mấy cái chuỗi Fourier này anh quên cả rồi nhưng chứng minh chuỗi lượng giác ở trên hội tụ thì hoàn toàn có thể làm được bằng cách nhóm tổng Abel. Anh đoán vậy.

Vậy là em đang học mấy cái về L-hàm? Có gì lúc nào anh đọc lại giải tích Fourier.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi elfking

Ai cũng biết chuỗi
$\sum x^n/n $
không hội tụ khi $x=1 $. Chứng minh rằng chuỗi này hội tụ có điều kiện cho bất kì $|x|=1 $ nào khác.

Giả sử $x\not=1$. Đặt $u_m = \sum_{k=1}^m\frac{x^k}{k}$ và $S_m = \sum_{k=1}^mx^k = x\frac{x^m -1}{x-1}$.
Do đó $|S_m|\leq \frac{2}{|x-1|}$ với mọi $m$.
với mọi $n,p\geq 0$ ta có
$$ u_{n+p}-u_n =\sum_{k=1}^p \frac{x^{n+k}}{n+k} =\sum_{k=1}^p\frac{S_{n+k}-S_{n+k-1}}{n+k} = \frac{S_{n+p}}{n+p}-\frac{S_{n}}{n+1} +\sum_{k=1}^{p-1}S_{n+k}(\frac{1}{n+k} -\frac{1}{n+k+1}).$$
Do đó
$$ |u_{n+p}-u_n|\leq \frac{2}{|x-1|}\bigg( \frac{1}{n+p} + \frac{1}{n+1} + \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{n+k} -\frac{1}{n+k+1}\bigg) = \frac{4}{|x-1|}\frac{1}{n+1}.$$
Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy suy ra chuỗi hội tụ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[elfking]

Lời giải hay quá, cám ơn bạn 123456 nhiều.
Như vậy là tất cả đều nhờ vào sự hội tụ của $\sum x^n$ khi $x\not=1$, và ta có thể chứng minh tương tự như thế hội tụ của $\sum a_n x^n$ khi $x\not=1$ miễn là $a_n\rightarrow 0$. Nghe bá đạo ra phết, tại vì $a_n$ có thể tiến tới 0 cực kì chậm, như $1/log(log(log n))$. Nhưng xét cho cùng tất cả đều không khó như $\sum x^n$ (ở đây dãy $a_n$ thậm chí không tiến đến 0), cho nên đúng là một khi đã chứng minh dãy này hội tụ rồi là có thể yên tâm.
Bài này cho mình thêm rất nhiều trực quan về vấn đề hội tụ.
Còn nếu dùng Fourier để giải như anh 99 nói thì đúng là đơn giản vì hàm $-log(1-x)$ liên tục ở $x\not=1$ nên khai triển Fourier hội tụ và bằng $-log(1-x)$. Nhưng cách này chắc là không làm được cho chuỗi với hệ số $1/log(log(log n))$ (chuẩn $L^2$ của chuỗi này là vô cùng). Vậy là phương pháp sơ cấp hơn lại khoẻ hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Ờ, anh không hề biết cách nào dùng chuỗi Fourier cả cái anh nghĩ là dùng phương pháp tổng Abel (Abel summation) giống như anh 123456. Cái mà anh 123456 làm chính là tổng Abel đấy. Nếu em học giải tích Fourier rồi thì không thể thiếu kỹ thuật này được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[elfking]

Hê hê, tìm mãi mới được nút Thanks. Để bao giờ em phải tra lại cách chứng minh là khai triển Fourier hội tụ đến giá trị của hàm nếu hàm liên tục tại điểm đấy mới được, có khi là dùng khai triển Abel thật, mà nếu như thế thì yếu hơn không có gì là lạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Thử nhen!
$x=e^{i\theta}, \theta\neq 2k\pi. $

Qui bài toán về việc chứng minh
$\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}, \sum \frac{\sin{n\theta}}{n} $hội tụ.
$\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $, $\sum \frac{\sin{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $ và$ \frac{1}{n} $ dương giảm, hội tụ về 0 nên theo tiêu chuẩn Dirichlet có chuỗi hội tụ[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[elfking]

Lại một cách giải hay bạn Galoi_vn giải thích hộ mình vì sao $\sum cos n\theta /n\leq 2/|sin x/2|$ với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi Galois_vn

$\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $, $\sum \frac{\sin{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $ và$ \frac{1}{n} $ dương giảm, hội tụ về 0 nên theo tiêu chuẩn Dirichlet có chuỗi hội tụ[Only registered and activated users can see links. ]

Đoạn này anh viết nhầm rồi Chính xác phải là $\sum \cos{n\theta} \le \frac{2}{|\sin{\frac{\theta}{2}}|} $, $\sum \sin{n\theta} \le \frac{2}{|\sin{\frac{\theta}{2}}|} $.

Có điều này là do $\sum_{i=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $ và $\sum_{i=1}^n \sin(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi novae

Đoạn này anh viết nhầm rồi Chính xác phải là $\sum \cos{n\theta} \le \frac{2}{|\sin{\frac{\theta}{2}}|} $, $\sum \sin{n\theta} \le \frac{2}{|\sin{\frac{\theta}{2}}|} $.

Có điều này là do $\sum_{i=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $ và $\sum_{i=1}^n \sin(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $.

Copy dán và ước lượng cái tổng mà không nhớ công thức lượng giác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Thử nhen!
$x=e^{i\theta}, \theta\neq 2k\pi. $

Qui bài toán về việc chứng minh
$\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}, \sum \frac{\sin{n\theta}}{n} $hội tụ.

Em sử dụng chuỗi Fourier, tính được $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\theta}}{n}$, còn chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{\cos{n\theta}}{n}$ hình như không tính được.

Khai triển hàm số $f(x)=\dfrac{\pi-x}{2}$ trong khoảng $(0,2\pi)$, các hệ số Fourier lần lượt là:
$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}dx=\left. \frac{1}{2\pi}\left ( \pi x-\frac{x^2}{2} \right ) \right |_{0}^{2\pi}=0$$
$$\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\cos nx dx \\
&= \left. \frac{1}{2\pi}\left ( \pi -x \right ) \frac{\sin nx}{n}\right |_{0}^{2\pi}-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\sin nx dx=0.
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\sin nx dx \\
&= \left. -\frac{1}{2\pi}\left ( \pi -x \right ) \frac{\cos nx}{n}\right |_{0}^{2\pi}-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\cos nx dx=\frac{1}{n}.
\end{align*}$$
Vậy với $0<x<2\pi$, ta có:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}$$.
_____________________
Ngoài ra cũng có thể chứng minh công thức trên bằng cách sử dụng định lý Lagrange. Ta có tổng chuỗi
$$\sum_{n=1}^{\infty} \cos x=\dfrac{\sin \frac{nx}{2} \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right )x}{2\sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}.$$
Xét hàm số
$$f_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}+\frac{\cos \left ( n+\frac{1}{2} \right )x}{(2n+1)\sin \frac{x}{2}}+\frac{x}{2}$$
khả vi trên $(0, 2 \pi)$ và $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f'_n(x)=0$. Sử dụng định lý Lagrange, có:
$$f_n(x)-f_n(\pi)=f'_n(x)(x-\pi)$$
Cho $n$ tiến ra $\infty$, thu được
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}+\frac{x-\pi}{2}=0 \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Chẹp, chú Kiên tìm được cái hàm đẹp quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi magician_14312

còn chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{\cos{n\theta}}{n}$ hình như không tính được.

$$\sum _{n=1}^{\infty}\frac{\cos{n\theta}}{n} = \frac{1}{2}\ln(2(1 - \cos\theta)),\quad\ 0< \theta < 2\pi.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]